São dados três deslocamentos em metros: d1=4 i+5 j-6 k, d2=-1 i+2 j+3 k e d3=4 i+3 j+2 k. (a) determine r=d1-d2+d3. (b) determine o ângulo entre r e o semi-eixo z positivo. © determine a componente de d1 em relação a d2. (d) qual é a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três deslocamentos representados por vetores em metros:
d1 = 4,i + 5,j - 6,k, d2 = -1,i + 2,j + 3,k, d3 = 4,i + 3,j + 2,k
O que precisamos fazer:
  • Parte (a): Calcular r = d1 - d2 + d3
  • Parte (b): Encontrar o ângulo entre r e o semi-eixo z positivo
  • Parte ©: Determinar a componente de d1 em relação a d2
  • Parte (d): Encontrar a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano formado por d1 e d2
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): calcular r = d1 - d2 + d3.
Para somar e subtrair vetores, simplesmente subtraímos ou somamos as componentes correspondentes.
Então:
r = (4,i + 5,j - 6,k) - (-1,i + 2,j + 3,k) + (4,i + 3,j + 2,k)
Vamos resolver isso.

Passo 3

Primeiro, vamos subtrair d2 de d1:
d1 - d2 = (4 - (-1)),i + (5 - 2),j + (-6 - 3),k = 5,i + 3,j - 9,k
Agora, somamos d3:
r = 5,i + 3,j - 9,k + 4,i + 3,j + 2,k = (5 + 4),i + (3 + 3),j + (-9 + 2),k = 9,i + 6,j - 7,k

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): determinar o ângulo entre r e o semi-eixo z positivo.
O semi-eixo z positivo é representado pelo vetor unitário k.
Para encontrar o ângulo theta entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
costheta = a cdot b|a|,|b|
Aqui, a = r e b = k.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o produto escalar r cdot k:
r cdot k = (9,i + 6,j - 7,k) cdot k = 9 cdot 0 + 6 cdot 0 + (-7) cdot 1 = -7
Agora, calculamos o módulo de r:
|r| = raiz9^2 + 6^2 + (-7)^2 = raiz81 + 36 + 49 = raiz166 approx 12,884
E o módulo de k é 1, já que é um vetor unitário.
Então:
costheta = -712,884 times 1 approx -0,544
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar theta:
theta = arccos(-0,544) approx 126°

Passo 6

Vamos para a parte ©: determinar a componente de d1 em relação a d2.
A componente de um vetor a na direção de b é dada por:
Componente = a cdot b|b|
Aqui, a = d1 e b = d2.

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar d1 cdot d2:
d1 cdot d2 = (4)(-1) + (5)(2) + (-6)(3) = -4 + 10 - 18 = -12
Agora, calculamos o módulo de d2:
|d2| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 approx 3,742
Então, a componente é:
-123,742 approx -3,208 , m

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte (d): encontrar a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano formado por d1 e d2.
Para isso, usamos a decomposição do vetor d1 em duas componentes: uma paralela a d2 e outra perpendicular a d2. Já calculamos a componente paralela na parte ©. A componente perpendicular pode ser encontrada subtraindo a componente paralela de d1.

Passo 9

Primeiro, encontramos o vetor componente paralela:
Componente Para<=la = ( d1 cdot d2|d2|^2 ) d2 = ( -1214 ) d2 = ( -67 ) d2 = -67 (-1,i + 2,j + 3,k) = 67,i - 127,j - 187,k
Agora, subtraímos essa componente de d1 para encontrar a componente perpendicular:
Componente Perpendicular = d1 - Componente Para<=la = (4,i + 5,j - 6,k) - (67,i - 127,j - 187,k) = (4 - 67)i + (5 + 127)j + (-6 + 187)k
Simplificando:
Componente Perpendicular = 227,i + 477,j - 247,k

Resposta

(a) r = 9,i + 6,j - 7,k
(b) O ângulo entre r e o semi-eixo z positivo é aproximadamente 126°
© A componente de d1 em relação a d2 é -3,208,m
(d) A componente de d1 perpendicular a d2 e no plano de d1 e d2 é 227,i + 477,j - 247,k

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