São dados três deslocamentos em metros:
e
. (a) determine
. (b) determine o ângulo entre
o semi-eixo z positivo. © determine a componente de
em relação a
. (d) qual é a componente de
que é perpendicular a
e está no plano de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três deslocamentos representados por vetores em metros:
O que precisamos fazer:
- Parte (a): Calcular
- Parte (b): Encontrar o ângulo entre
e o semi-eixo z positivo - Parte ©: Determinar a componente de
em relação a - Parte (d): Encontrar a componente de
que é perpendicular a e está no plano formado por e
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): calcular
.
Para somar e subtrair vetores, simplesmente subtraímos ou somamos as componentes correspondentes.
Então:
Vamos resolver isso.
Passo 3
Primeiro, vamos subtrair
de
:
Agora, somamos
:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): determinar o ângulo entre
e o semi-eixo z positivo.
O semi-eixo z positivo é representado pelo vetor unitário
.
Para encontrar o ângulo
entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Aqui,
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Agora, calculamos o módulo de
:
E o módulo de
é 1, já que é um vetor unitário.
Então:
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar
:
Passo 6
Vamos para a parte ©: determinar a componente de
em relação a
.
A componente de um vetor
na direção de
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, calculamos o módulo de
:
Então, a componente é:
Passo 8
Finalmente, vamos para a parte (d): encontrar a componente de
que é perpendicular a
e está no plano formado por
e
.
Para isso, usamos a decomposição do vetor
em duas componentes: uma paralela a
e outra perpendicular a
. Já calculamos a componente paralela na parte ©. A componente perpendicular pode ser encontrada subtraindo a componente paralela de
.
Passo 9
Primeiro, encontramos o vetor componente paralela:
Agora, subtraímos essa componente de
para encontrar a componente perpendicular:
Simplificando:
Resposta
(a)
(b) O ângulo entre
e o semi-eixo z positivo é aproximadamente
© A componente de
em relação a
é
(d) A componente de
perpendicular a
e no plano de
e
é