A aceleração de um ponto material é definida por
, no sistema internacional de unidades.
(a) Sabendo-se que
quando
e que
qunto
, determinar a constante k.
(b) Escrever as equações que caracterizam o movimento, sabendo-se também que
quanto
.
(a) Sabendo-se que
(b) Escrever as equações que caracterizam o movimento, sabendo-se também que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tá lidando com movimento de um ponto material onde a aceleração depende do tempo, ou seja, é função de $ t $. O enunciado nos dá a aceleração como $ a = k t^{2} $ e pede pra gente encontrar a constante $ k $ usando as informações das velocidades em dois instantes diferentes. Depois, temos que escrever as equações do movimento, considerando também a posição em um certo tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que liga aceleração, velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a aceleração está relacionada com a velocidade. A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo:
Como $ a(t) = k t^{2} $, podemos escrever:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação para achar $ v(t) $:
Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar $ k $ e $ C $.
Passo 4
Sabemos que quando $ t = 0 $, a velocidade $ v = -24 , m/s $. Vamos substituir esses valores na equação da velocidade:
Então, a constante $ C $ é igual a -24.
Passo 5
Agora, a equação da velocidade fica:
Usando a outra condição que quando $ t = 4 , s $, $ v = 40 , m/s $:
Vamos resolver para $ k $.
Passo 6
Calculando $ (4)^3 = 64 $, temos:
Adicionando 24 em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Dividindo por 64:
Passo 7
Agora que encontramos $ k = 3 $, podemos escrever a equação da velocidade:
Passo 8
Vamos passar para a parte (b). Queremos encontrar a equação da posição $ x(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, para encontrar $ x(t) $, vamos integrar $ v(t) $.
Passo 9
Integrando a velocidade:
Isso dá:
Onde $ D $ é outra constante de integração. Vamos usar a condição $ x = 6 , m $ quando $ t = 2 , s $ para encontrar $ D $.
Passo 10
Substituindo $ t = 2 $ e $ x = 6 $:
Calculando:
Passo 11
Agora, a equação da posição fica:
Resposta
(a) A constante $ k = 3 $.
(b) As equações que caracterizam o movimento são: