A aceleração de um ponto material é definida por a=k t^2, no sistema internacional de unidades.
(a) Sabendo-se que v=-24 m / s quando t=0 e que v=40 m / s qunto t=4 s, determinar a constante k.
(b) Escrever as equações que caracterizam o movimento, sabendo-se também que x=6 m quanto t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tá lidando com movimento de um ponto material onde a aceleração depende do tempo, ou seja, é função de $ t $. O enunciado nos dá a aceleração como $ a = k t^{2} $ e pede pra gente encontrar a constante $ k $ usando as informações das velocidades em dois instantes diferentes. Depois, temos que escrever as equações do movimento, considerando também a posição em um certo tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que liga aceleração, velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a aceleração está relacionada com a velocidade. A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo:
a(t)
Como $ a(t) = k t^{2} $, podemos escrever:
v(t)
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação para achar $ v(t) $:
v(t)
Isso simplifica para:
integral dvdt , dt = integral k t^2 , dt
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar $ k $ e $ C $.

Passo 4

Sabemos que quando $ t = 0 $, a velocidade $ v = -24 , m/s $. Vamos substituir esses valores na equação da velocidade:
t = 0
Então, a constante $ C $ é igual a -24.

Passo 5

Agora, a equação da velocidade fica:
v(t) = k3 t^3 - 24
Usando a outra condição que quando $ t = 4 , s $, $ v = 40 , m/s $:
t = 4 , s
Vamos resolver para $ k $.

Passo 6

Calculando $ (4)^3 = 64 $, temos:
(4)^3 = 64
Adicionando 24 em ambos os lados:
40 = k3 times 64 - 24
Multiplicando ambos os lados por 3:
64 = 64k3
Dividindo por 64:
192 = 64k

Passo 7

Agora que encontramos $ k = 3 $, podemos escrever a equação da velocidade:
k = 3

Passo 8

Vamos passar para a parte (b). Queremos encontrar a equação da posição $ x(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
x(t)
Então, para encontrar $ x(t) $, vamos integrar $ v(t) $.

Passo 9

Integrando a velocidade:
integral dxdt , dt = integral (t^3 - 24) , dt
Isso dá:
x(t) = t^44 - 24t + D
Onde $ D $ é outra constante de integração. Vamos usar a condição $ x = 6 , m $ quando $ t = 2 , s $ para encontrar $ D $.

Passo 10

Substituindo $ t = 2 $ e $ x = 6 $:
t = 2
Calculando:
x = 6

Passo 11

Agora, a equação da posição fica:
x(t) = t^44 - 24t + 50

Resposta

(a) A constante $ k = 3 $.
(b) As equações que caracterizam o movimento são:
k = 3
v(t) = t^3 - 24

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