Um tarugo cilíndrico de 3 in de comprimento, cujo diâmetro é de 1,5 in, é reduzido por extrusão indireta para um diâmetro igual a 0,375 in. O ângulo da matriz é igual a 90^circ. Na equação de Jonhson, a=0,8 e b=1,5. Na curva de escoamento do material, K=75.000 lbf/in2 e n=0,25. Determine (f) a potência se a velocidade do êmbolo for igual a 20 in/min.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tarugo cilíndrico com 3 polegadas de comprimento e diâmetro de 1,5 polegadas que está sendo reduzido por extrusão indireta para um diâmetro final de 0,375 polegadas. O ângulo da matriz é de 90^circ. Na equação de Johnson, os valores são a = 0,8 e b = 1,5. Além disso, a curva de escoamento do material é dada por K = 75.000 , lbf/in^2 e n = 0,25. A pergunta é: qual é a potência quando a velocidade do êmbolo é de 20 in/min.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de extrusão, força de extrusão, e como calcular a potência a partir da força e da velocidade. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal inicial e final do tarugo. A área de um círculo é dada por:
A = pi D^24
Onde D é o diâmetro.
Calculando a área inicial ( Ai):
Ai = pi (1,5)^24 = pi times 2,254 = 0,5625pi , in^2
Calculando a área final ( Af):
Af = pi (0,375)^24 = pi times 0,1406254 = 0,03515625pi , in^2

Passo 3

Agora, vamos determinar a taxa de redução da área, que é a razão entre a área inicial e a área final:
Taxa de redução = AiAf = 0,5625pi0,03515625pi = 16 çã
Isso significa que a área está sendo reduzida 16 vezes.

Passo 4

Em seguida, usamos a equação de Johnson para relacionar a força de extrusão com os parâmetros fornecidos. A equação de Johnson para extrusão indireta pode ser expressa como:
F = a cdot Ai cdot K cdot (AiAf)^n cdot tan(alpha)
Onde:
  • F é a força de extrusão
  • a é um fator da equação de Johnson (0,8)
  • Ai é a área inicial
  • K é a constante da curva de escoamento (75.000 lbf/in²)
  • n é o expoente da curva de escoamento (0,25)
  • alpha é o ângulo da matriz (90°)

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação:
F = 0,8 times 0,5625pi times 75.000 times 16^0,25 times tan(90^circ)
Sabemos que tan(90^circ) tende ao infinito, o que indica uma condição idealizada. Na prática, isso sugere que a força necessária seria muito alta, mas para fins de cálculo, podemos assumir um ângulo ligeiramente menor ou considerar outros fatores como atrito. Porém, como o ângulo é dado como 90°, vamos prosseguir com o cálculo simbólico.

Passo 6

Calculando 16^0,25:
16^0,25 = 2
Agora, substituindo:
F = 0,8 times 0,5625pi times 75.000 times 2 times tan(90^circ)
Como tan(90^circ) é infinito, na prática, a força seria limitada por outros fatores. Para continuar, vamos considerar um ângulo ligeiramente menor, como 88^circ, para obter um valor finito.
Calculando tan(88^circ) approx 28,64:
F = 0,8 times 0,5625pi times 75.000 times 2 times 28,64

Passo 7

Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, 0,5625 times pi approx 1,7671:
F = 0,8 times 1,7671 times 75.000 times 2 times 28,64
Multiplicando 0,8 times 1,7671 approx 1,4137:
F = 1,4137 times 75.000 times 2 times 28,64
Multiplicando 75.000 times 2 = 150.000:
F = 1,4137 times 150.000 times 28,64
Multiplicando 1,4137 times 150.000 approx 212.055:
F = 212.055 times 28,64 approx 6.083.110 , lbf

Passo 8

Agora que temos a força, podemos calcular a potência usando a fórmula:
P = F times vp
Onde:
  • P é a potência
  • F é a força (6.083.110 lbf)
  • vp é a velocidade do êmbolo (20 in/min)
Substituindo:
P = 6.083.110 times 20 = 121.662.200 , lbf cdot in/min

Passo 9

Para converter a potência para unidades mais convencionais, como HP (cavalos de potência), usamos a relação:
1 , HP = 12.000 , lbf cdot in/min
Assim:
P = 121.662.20012.000 approx 10.138,52 , HP

Resposta

A potência necessária é aproximadamente 10.138,52 HP.

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