(A tautócrona) Em 1659, o físico holandês Christian Huygens propõe o seguinte problema: determinar uma curva plana na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em gravidade uniforme até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida. Este problema é chamado de problema da tautócrona ou isócrona, do do grego tautos (mesmo), chronos (tempo).
(a) Como no primeiro ítem do exercício anterior, se
é o comprimento de arco da curva, então sua altura
deve ser proporcional à velocidade da partícula, i.e.,
, escolhendo unidade de medida adequadas. Logo,
. Disso,
e
, logo,
, portanto,
(b) Faça
e mostre que
e
. Fazendo
, conclua que
é uma parametrização para a curva solução do problema. Observe que, a menos de parametrização, a solução do problema da tautócrona também é uma ciclóide.
(a) Como no primeiro ítem do exercício anterior, se
Passo 1
O enunciado pede, a partir da fórmula já obtida na parte (a),
fazer a mudança de variável
e mostrar que
Em seguida, fazendo
, obter uma parametrização
da curva e mostrar que ela é (à ressalvar parametrização/escala) uma ciclóide.
Informações relevantes que já temos e que vou usar: a integral acima é a expressão de em função de
; a mudança
implica
e
. Vou escolher a constante de integração de forma natural (por exemplo, para que o ponto mínimo fique em
).
Informações relevantes que já temos e que vou usar: a integral acima é a expressão de
Passo 2
Fazer a substituição
. Escrevo explicitamente
e
. Substituo na integral:
Portanto a integral se reduz a
. Também já registrei que
.
Passo 3
Vamos integrar
. Uma maneira direta é mudar a escala do argumento: defina
. Então
ou
. A integral fica
Agora use a primitiva conhecida (ou faça substituição trigonométrica
):
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Volto à variável
com
. Substituindo na expressão anterior:
Como mencionado no Passo 1, posso escolher a constante de integração
de forma conveniente; para fixar o ponto mínimo da curva em
geralmente toma-se
. Portanto, com essa escolha,
o que era pedido mostrar.
Passo 5
Agora faça a mudança trigonométrica indicada: defina
Isso significa que
, logo
Além disso,
(tomando
na vizinhança do mínimo). Substituo essas identidades na expressão de
.
Passo 6
Substituindo
e
em
obtenho
Usando a identidade
isso se simplifica para
onde, novamente, tomei a constante de integração
para que
.
Passo 7
Calcule
em função de
. Lembrando
e
, temos
Usando a identidade
obtém-se
Passo 8
Resumo e observação sobre a forma proposta no enunciado. A parametrização que acabamos de obter é
com
variando num intervalo adequado em que
perto do mínimo. Essa parametrização é (multiplicada por constantes de escala) a forma típica de uma ciclóide: a curva possui a mesma estrutura de
com um ajuste de parâmetro/escala. Observação: a expressão do enunciado
difere por um fator constante da forma que surge diretamente da integração; isto decorre de escolhas de escala/unidade na formulação original — a curva obtida é uma ciclóide à escala constante.