(A tautócrona) Em 1659, o físico holandês Christian Huygens propõe o seguinte problema: determinar uma curva plana na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em gravidade uniforme até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida. Este problema é chamado de problema da tautócrona ou isócrona, do do grego tautos (mesmo), chronos (tempo).
(a) Como no primeiro ítem do exercício anterior, se s=s(t) é o comprimento de arco da curva, então sua altura y deve ser proporcional à velocidade da partícula, i.e., y(s)=s^{2}, escolhendo unidade de medida adequadas. Logo, y(s)=s^{2}. Disso, d y=2 s d s e d y^{2}=4 s^{2} d s^{2}= 4 y\left(d x^{2}+d y^{2}\right), logo, \frac{d x}{d y}=\frac{\sqrt{1-4 y}}{2 \sqrt{y}}, portanto,
x=\int \frac{\sqrt{1-4 y}}{2 \sqrt{y}} d y
(b) Faça u=\sqrt{y} e mostre que x=\frac{1}{2} u \sqrt{1-4 u^{2}}+\frac{1}{4} \arcsin (2 u) e y=u^{2}. Fazendo \theta=\arcsin (2 u), conclua que
x(\theta)=\frac{1}{8}(2 \theta+\operatorname{sen}(2 \theta)), y(\theta)=1-\cos (2 \theta)
é uma parametrização para a curva solução do problema. Observe que, a menos de parametrização, a solução do problema da tautócrona também é uma ciclóide.

Passo 1

O enunciado pede, a partir da fórmula já obtida na parte (a),
x=\int \frac{\sqrt{1-4y}}{2\sqrt{y}}\,dy,
fazer a mudança de variável u=\sqrt{y} e mostrar que
x=\tfrac{1}{2}u\sqrt{1-4u^{2}}+\tfrac{1}{4}\arcsin(2u), \qquad y=u^{2}.
Em seguida, fazendo \theta=\arcsin(2u), obter uma parametrização x(\theta),y(\theta) da curva e mostrar que ela é (à ressalvar parametrização/escala) uma ciclóide.
Informações relevantes que já temos e que vou usar: a integral acima é a expressão de x em função de y; a mudança u=\sqrt{y} implica y=u^{2} e dy=2u\,du. Vou escolher a constante de integração de forma natural (por exemplo, para que o ponto mínimo fique em x=0).

Passo 2

Fazer a substituição u=\sqrt{y}. Escrevo explicitamente y=u^{2} e dy=2u\,du. Substituo na integral:
x=\int \frac{\sqrt{1-4y}}{2\sqrt{y}}\,dy =\int \frac{\sqrt{1-4u^{2}}}{2u}\cdot(2u\,du) =\int \sqrt{1-4u^{2}}\,du.
Portanto a integral se reduz a x=\displaystyle\int \sqrt{1-4u^{2}}\,du. Também já registrei que y=u^{2}.

Passo 3

Vamos integrar \displaystyle\int \sqrt{1-4u^{2}}\,du. Uma maneira direta é mudar a escala do argumento: defina z=2u. Então dz=2\,du ou du=\tfrac{1}{2}dz. A integral fica
\int \sqrt{1-4u^{2}}\,du =\int \sqrt{1-z^{2}}\cdot \tfrac{1}{2}\,dz =\tfrac{1}{2}\int \sqrt{1-z^{2}}\,dz.
Agora use a primitiva conhecida (ou faça substituição trigonométrica z=\sin\varphi):
\int \sqrt{1-z^{2}}\,dz =\frac{z}{2}\sqrt{1-z^{2}}+\frac{1}{2}\arcsin(z)+C.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\tfrac{1}{2}\int \sqrt{1-z^{2}}\,dz =\frac{z}{4}\sqrt{1-z^{2}}+\frac{1}{4}\arcsin(z)+C.

Passo 4

Volto à variável u com z=2u. Substituindo na expressão anterior:
x=\frac{2u}{4}\sqrt{1-(2u)^{2}}+\frac{1}{4}\arcsin(2u)+C =\tfrac{1}{2}u\sqrt{1-4u^{2}}+\tfrac{1}{4}\arcsin(2u)+C.
Como mencionado no Passo 1, posso escolher a constante de integração C de forma conveniente; para fixar o ponto mínimo da curva em x=0 geralmente toma-se C=0. Portanto, com essa escolha,
x=\tfrac{1}{2}u\sqrt{1-4u^{2}}+\tfrac{1}{4}\arcsin(2u), \qquad y=u^{2},
o que era pedido mostrar.

Passo 5

Agora faça a mudança trigonométrica indicada: defina
\theta=\arcsin(2u).
Isso significa que 2u=\sin\theta, logo
u=\tfrac{1}{2}\sin\theta.
Além disso, \sqrt{1-4u^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (tomando \cos\theta\ge0 na vizinhança do mínimo). Substituo essas identidades na expressão de x.

Passo 6

Substituindo u=\tfrac{1}{2}\sin\theta e \sqrt{1-4u^{2}}=\cos\theta em
x=\tfrac{1}{2}u\sqrt{1-4u^{2}}+\tfrac{1}{4}\arcsin(2u),
obtenho
x=\tfrac{1}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\sin\theta\right)\cos\theta+\tfrac{1}{4}\theta =\tfrac{1}{4}\sin\theta\cos\theta+\tfrac{1}{4}\theta.
Usando a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta isso se simplifica para
x=\tfrac{1}{8}\bigl(2\theta+\sin(2\theta)\bigr),
onde, novamente, tomei a constante de integração C=0 para que x(0)=0.

Passo 7

Calcule y em função de \theta. Lembrando y=u^{2} e u=\tfrac{1}{2}\sin\theta, temos
y=\left(\tfrac{1}{2}\sin\theta\right)^{2}=\tfrac{1}{4}\sin^{2}\theta.
Usando a identidade \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta)) obtém-se
y=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr)=\tfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr).

Passo 8

Resumo e observação sobre a forma proposta no enunciado. A parametrização que acabamos de obter é
x(\theta)=\tfrac{1}{8}\bigl(2\theta+\sin(2\theta)\bigr),\qquad y(\theta)=\tfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr),
com \theta variando num intervalo adequado em que \cos\theta\ge0 perto do mínimo. Essa parametrização é (multiplicada por constantes de escala) a forma típica de uma ciclóide: a curva possui a mesma estrutura de x=r(\varphi-\sin\varphi),\;y=r(1-\cos\varphi) com um ajuste de parâmetro/escala. Observação: a expressão do enunciado y(\theta)=1-\cos(2\theta) difere por um fator constante da forma que surge diretamente da integração; isto decorre de escolhas de escala/unidade na formulação original — a curva obtida é uma ciclóide à escala constante.

Resposta

x(\theta)=\dfrac{1}{8}\bigl(2\theta+\sin(2\theta)\bigr)
y(\theta)=\dfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr)

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