Apresente os domínios e esboce os gráficos de
e
.
e
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas: apresentar os domínios de
e de
e esboçar os gráficos dessas duas funções. As funções fornecidas são:
Informações dadas e perguntas a responder:
- Dado
. - Dado
. - Pergunta 1: Qual é o domínio de
? - Pergunta 2: Qual é o domínio de
? - Pergunta 3: Fazer um esboço (desenho/descrição) do gráfico de
. - Pergunta 4: Fazer um esboço (desenho/descrição) do gráfico de
.
Passo 2
Determinar os domínios das funções originais (isso é necessário para depois achar os domínios das operações).
- A função
está definida para todo número real, portanto o domínio de é
Explicação simples: não há raiz par nem divisão por zero em
, então qualquer
vale.
- A função
exige que o argumento da raiz quadrada seja não negativo. Logo
Explicação simples:
só está definida (sobre os reais) para
.
Passo 3
Regra para domínio de soma: o domínio de
é a interseção dos domínios de
e
, porque é preciso que ambos estejam definidos no mesmo
. Assim
Portanto
está definida para todo
.
Passo 4
Regra para domínio da razão: o domínio de
é a interseção dos domínios de
e
excluindo os pontos onde
, porque não se pode dividir por zero. Então começamos com
Agora removemos os pontos com
. Como
, isso ocorre apenas em
. Logo
Explicação: em
a função
existe (
), mas
impediria a divisão.
Passo 5
Escrever explicitamente as expressões que iremos esboçar, já restritas aos seus domínios:
- Para
,
- Para
, simplificando a razão (quando podemos dividir):
Observação: a simplificação
vale só quando
, justamente o domínio que encontramos.
Passo 6
Analisar o gráfico de
para esboço (domínio
).
- Valores notáveis:
Esses pontos são fáceis de plotar: . - Derivada (para entender crescimento): usamos que
para . Então, para ,
Isso mostra que
é estritamente crescente em
. No ponto
a derivada de
tende a
pela direita, então o gráfico tem inclinação muito grande perto de
(tangente vertical idealizada).
- Segunda derivada (concavidade): para
,
Então
é côncava para baixo em
.
- Comportamento para grande
: como cresce mais devagar que , para tem
isto é, o termo dominante é
e o gráfico se aproxima da reta com inclinação
para grandes
.
- Conclusão para o esboço de
: desenhar a curva para , passando por , subindo rápido perto de , depois crescendo de forma monotônica mas “esticando-se” quase linearmente para a direita; curvatura é para baixo.
Passo 7
Analisar o gráfico de
para esboço (domínio
).
- Valores notáveis:
Pontos úteis: . - Comportamento próximo a
: à medida que , então . Isso significa que o gráfico tem uma assíntota vertical em (do lado direito). - Comportamento para
: então . Assim existe uma assíntota horizontal em pela direita. - Derivada (monotonicidade): para
,
logo
é estritamente decrescente.
- Segunda derivada (convexidade):
portanto
é côncava para cima (convexa) em
.
- Conclusão para o esboço de
: desenhar uma curva positiva, decrescente, que explode para ao aproximar e que tende a quando . Traçar as assíntotas (vertical) e (horizontal) e os pontos citados.
Passo 8
Como esboçar na prática (passos rápidos para fazer à mão na prova):
- Para
: - Marcar no eixo
o ponto e no eixo o ponto . - Plotar
e . - Ligar os pontos com uma curva que sai de
, tem inclinação muito grande imediatamente à direita de e depois vai se acomodando numa subida quase linear (tendendo a inclinação ). - Garantir que a curva seja crescente e levemente côncava para baixo.
- Marcar no eixo
- Para
: - Desenhar o eixo e marcar a região
. - Colocar os pontos
. - Traçar uma curva que passa por esses pontos, decresce, se eleva muito quando aproximando
(assíntota vertical) e aproxima-se de para a direita (assíntota horizontal). - Marcar as assíntotas
e como guias.
- Desenhar o eixo e marcar a região
Resposta
Domínio de
:
. Gráfico de
:
para
, passa por
; é crescente, côncava para baixo, e para
cresce como
.
Domínio de
:
. Gráfico de
:
para
, passa por
; é positiva e estritamente decrescente, com assíntota vertical em
e assíntota horizontal em
.