Apresente os domínios e esboce os gráficos de f+g e \frac{g}{f}.
f(x)=x e g(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas: apresentar os domínios de f+g e de \dfrac{g}{f} e esboçar os gráficos dessas duas funções. As funções fornecidas são:
f(x)=x,\qquad g(x)=\sqrt{x}.
Informações dadas e perguntas a responder:
  • Dado f(x)=x.
  • Dado g(x)=\sqrt{x}.
  • Pergunta 1: Qual é o domínio de f+g?
  • Pergunta 2: Qual é o domínio de \dfrac{g}{f}?
  • Pergunta 3: Fazer um esboço (desenho/descrição) do gráfico de f+g.
  • Pergunta 4: Fazer um esboço (desenho/descrição) do gráfico de \dfrac{g}{f}.

Passo 2

Determinar os domínios das funções originais (isso é necessário para depois achar os domínios das operações).
  • A função f(x)=x está definida para todo número real, portanto o domínio de f é
\mathrm{dom}(f)=(-\infty,\infty).
Explicação simples: não há raiz par nem divisão por zero em f(x)=x, então qualquer x vale.
  • A função g(x)=\sqrt{x} exige que o argumento da raiz quadrada seja não negativo. Logo
\mathrm{dom}(g)=[0,\infty).
Explicação simples: \sqrt{x} só está definida (sobre os reais) para x\ge 0.

Passo 3

Regra para domínio de soma: o domínio de f+g é a interseção dos domínios de f e g, porque é preciso que ambos estejam definidos no mesmo x. Assim
\mathrm{dom}(f+g)=\mathrm{dom}(f)\cap\mathrm{dom}(g)=(-\infty,\infty)\cap[0,\infty)=[0,\infty).
Portanto f+g está definida para todo x\ge 0.

Passo 4

Regra para domínio da razão: o domínio de \dfrac{g}{f} é a interseção dos domínios de g e f excluindo os pontos onde f(x)=0, porque não se pode dividir por zero. Então começamos com
\mathrm{dom}(g)\cap\mathrm{dom}(f) = [0,\infty).
Agora removemos os pontos com f(x)=0. Como f(x)=x, isso ocorre apenas em x=0. Logo
\mathrm{dom}\!\left(\dfrac{g}{f}\right)=(0,\infty).
Explicação: em x=0 a função g existe ( \sqrt{0}=0), mas f(0)=0 impediria a divisão.

Passo 5

Escrever explicitamente as expressões que iremos esboçar, já restritas aos seus domínios:
  • Para x\in[0,\infty),
(f+g)(x)=x+\sqrt{x}.
  • Para x\in(0,\infty), simplificando a razão (quando x\neq 0 podemos dividir):
\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Observação: a simplificação \dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} vale só quando x>0, justamente o domínio que encontramos.

Passo 6

Analisar o gráfico de h(x)=(f+g)(x)=x+\sqrt{x} para esboço (domínio [0,\infty)).
  • Valores notáveis: h(0)=0+0=0,\qquad h(1)=1+1=2,\qquad h(4)=4+2=6.Esses pontos são fáceis de plotar: (0,0),(1,2),(4,6).
  • Derivada (para entender crescimento): usamos que \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0. Então, para x>0,
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0.
Isso mostra que h é estritamente crescente em (0,\infty). No ponto x=0 a derivada de \sqrt{x} tende a +\infty pela direita, então o gráfico tem inclinação muito grande perto de 0 (tangente vertical idealizada).
  • Segunda derivada (concavidade): para x>0,
h''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=-\frac{1}{4x^{3/2}}<0.
Então h é côncava para baixo em (0,\infty).
  • Comportamento para grande x: como \sqrt{x} cresce mais devagar que x, para x\to\infty tem
h(x)=x+\sqrt{x}\sim x,
isto é, o termo dominante é x e o gráfico se aproxima da reta com inclinação 1 para grandes x.
  • Conclusão para o esboço de h: desenhar a curva para x\ge 0, passando por (0,0), subindo rápido perto de 0, depois crescendo de forma monotônica mas “esticando-se” quase linearmente para a direita; curvatura é para baixo.

Passo 7

Analisar o gráfico de k(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} para esboço (domínio (0,\infty)).
  • Valores notáveis: k(0{,}25)=\frac{1}{\sqrt{0{,}25}}=\frac{1}{0{,}5}=2,\qquad k(1)=1,\qquad k(4)=\frac{1}{2}=0{,}5.Pontos úteis: (0{,}25,2),(1,1),(4,0{,}5).
  • Comportamento próximo a 0: à medida que x\to 0^+, \sqrt{x}\to 0^+ então k(x)=1/\sqrt{x}\to +\infty. Isso significa que o gráfico tem uma assíntota vertical em x=0 (do lado direito).
  • Comportamento para x\to\infty: \sqrt{x}\to\infty então k(x)=1/\sqrt{x}\to 0^+. Assim existe uma assíntota horizontal em y=0 pela direita.
  • Derivada (monotonicidade): para x>0,
k'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1/2}=-\frac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}<0,
logo k é estritamente decrescente.
  • Segunda derivada (convexidade):
k''(x)=\frac{3}{4}x^{-5/2}=\frac{3}{4x^{5/2}}>0,
portanto k é côncava para cima (convexa) em (0,\infty).
  • Conclusão para o esboço de k: desenhar uma curva positiva, decrescente, que explode para +\infty ao aproximar x=0^+ e que tende a 0 quando x\to\infty. Traçar as assíntotas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal) e os pontos citados.

Passo 8

Como esboçar na prática (passos rápidos para fazer à mão na prova):
  • Para h(x)=x+\sqrt{x}:
    1. Marcar no eixo x o ponto 0 e no eixo y o ponto 0.
    2. Plotar (1,2) e (4,6).
    3. Ligar os pontos com uma curva que sai de (0,0), tem inclinação muito grande imediatamente à direita de 0 e depois vai se acomodando numa subida quase linear (tendendo a inclinação 1).
    4. Garantir que a curva seja crescente e levemente côncava para baixo.
  • Para k(x)=1/\sqrt{x}:
    1. Desenhar o eixo e marcar a região x>0.
    2. Colocar os pontos (0{,}25,2),(1,1),(4,0{,}5).
    3. Traçar uma curva que passa por esses pontos, decresce, se eleva muito quando aproximando x=0 (assíntota vertical) e aproxima-se de y=0 para a direita (assíntota horizontal).
    4. Marcar as assíntotas x=0 e y=0 como guias.

Resposta

Domínio de f+g: [0,\infty). Gráfico de f+g: h(x)=x+\sqrt{x} para x\ge 0, passa por (0,0),(1,2),(4,6); é crescente, côncava para baixo, e para x\to\infty cresce como x.
Domínio de \dfrac{g}{f}: (0,\infty). Gráfico de \dfrac{g}{f}: k(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} para x>0, passa por (0{,}25,2),(1,1),(4,0{,}5); é positiva e estritamente decrescente, com assíntota vertical em x=0 e assíntota horizontal em y=0.

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