A taxa de crescimento (variação) populacional, em percentual, de um determinado município nos últimos 6 anos foram:
.
a. Qual a média mais apropriada para esse conjunto de dados? Justifique sua resposta. (1 ponto).
b. Calcule a média apropriada para esse conjunto de dados. (1 ponto)
a. Qual a média mais apropriada para esse conjunto de dados? Justifique sua resposta. (1 ponto).
b. Calcule a média apropriada para esse conjunto de dados. (1 ponto)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (taxas anuais de crescimento, em percentual):
Perguntas:
a. Qual a média mais apropriada para esse conjunto de dados? Justifique.
b. Calcule a média apropriada para esse conjunto de dados.
a. Qual a média mais apropriada para esse conjunto de dados? Justifique.
b. Calcule a média apropriada para esse conjunto de dados.
Passo 2
Entendendo o cenário e por que escolher a média geométrica (intuição didática e sem pular etapas).
- Quando uma quantidade (como população) cresce ano a ano com taxas sucessivas, o efeito total é multiplicativo. Se a população inicial for
e as taxas anuais (em decimal) forem , então a população após anos é
- Se quisermos encontrar uma taxa anual constante
que, aplicada todos os anos, dá o mesmo resultado final, devemos ter
- Igualando as duas expressões e isolando
obtemos
- A quantidade do lado direito é a média geométrica dos fatores de crescimento
. Portanto a média geométrica é a média correta quando os valores representam taxas de crescimento sucessivas (processo multiplicativo), porque ela retorna a taxa constante equivalente ao efeito composto observado.
Resumo didático curto: usar média aritmética em séries temporais multiplicativas (taxas) dá uma noção enganosa, já que ela não respeita o efeito de composição. A média geométrica sim.
Passo 3
Preparar os fatores de crescimento a partir das taxas percentuais dadas (converter para fator multiplicativo).
Cada taxa
em percentual vira um fator
. Para nossos dados:
Passo 4
Calcular o produto dos fatores e a média geométrica dos fatores.
- Produto:
Vou calcular o produto passo a passo (multiplicações mostradas para você poder reproduzir sem mistério):
Portanto
- Média geométrica dos fatores (raiz sexta do produto):
Passo 5
Extrair a taxa média anual equivalente a partir de
.
- Se
é o fator médio, a taxa percentual média (em %) é
- Cálculo numérico aproximado (mostrando um caminho de cálculo sem depender de cálculo mágico):
Usando a expansão logarítmica para calcular a raiz:
Então
Logo
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
Observação útil (motivação extra): aqui as taxas variam pouco, por isso a média aritmética das taxas também dá praticamente o mesmo resultado: a média aritmética é
. Mas a justificativa correta conceitualmente continua sendo a média geométrica, porque o processo é composto multiplicativamente.
Resposta
a. Média geométrica.
b.
b.