A taxa de crescimento (variação) populacional, em percentual, de um determinado município nos últimos 6 anos foram: 1,05-1,03-1,01-1,02-0,99-0,87.
a. Qual a média mais apropriada para esse conjunto de dados? Justifique sua resposta. (1 ponto).
b. Calcule a média apropriada para esse conjunto de dados. (1 ponto)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (taxas anuais de crescimento, em percentual):
1{,}05\%,\;1{,}03\%,\;1{,}01\%,\;1{,}02\%,\;0{,}99\%,\;0{,}87\%.
Perguntas:
a. Qual a média mais apropriada para esse conjunto de dados? Justifique.
b. Calcule a média apropriada para esse conjunto de dados.

Passo 2

Entendendo o cenário e por que escolher a média geométrica (intuição didática e sem pular etapas).
  • Quando uma quantidade (como população) cresce ano a ano com taxas sucessivas, o efeito total é multiplicativo. Se a população inicial for P_0 e as taxas anuais (em decimal) forem r_1,r_2,\dots,r_n, então a população após n anos é
P_n = P_0\,(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n).
  • Se quisermos encontrar uma taxa anual constante \bar r que, aplicada todos os anos, dá o mesmo resultado final, devemos ter
P_n = P_0\,(1+\bar r)^n.
  • Igualando as duas expressões e isolando 1+\bar r obtemos
1+\bar r = \Bigl((1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)\Bigr)^{1/n}.
  • A quantidade do lado direito é a média geométrica dos fatores de crescimento (1+r_i). Portanto a média geométrica é a média correta quando os valores representam taxas de crescimento sucessivas (processo multiplicativo), porque ela retorna a taxa constante equivalente ao efeito composto observado.
Resumo didático curto: usar média aritmética em séries temporais multiplicativas (taxas) dá uma noção enganosa, já que ela não respeita o efeito de composição. A média geométrica sim.

Passo 3

Preparar os fatores de crescimento a partir das taxas percentuais dadas (converter para fator multiplicativo).
Cada taxa r_i em percentual vira um fator f_i=1+\dfrac{r_i}{100}. Para nossos dados:
\begin{aligned} f_1 &= 1+\dfrac{1{,}05}{100}=1{,}0105,\\[4pt] f_2 &= 1+\dfrac{1{,}03}{100}=1{,}0103,\\[4pt] f_3 &= 1+\dfrac{1{,}01}{100}=1{,}0101,\\[4pt] f_4 &= 1+\dfrac{1{,}02}{100}=1{,}0102,\\[4pt] f_5 &= 1+\dfrac{0{,}99}{100}=1{,}0099,\\[4pt] f_6 &= 1+\dfrac{0{,}87}{100}=1{,}0087. \end{aligned}]

Passo 4

Calcular o produto dos fatores e a média geométrica dos fatores.
  • Produto:
P=\prod_{i=1}^{6} f_i =1{,}0105\cdot1{,}0103\cdot1{,}0101\cdot1{,}0102\cdot1{,}0099\cdot1{,}0087.
Vou calcular o produto passo a passo (multiplicações mostradas para você poder reproduzir sem mistério):
\begin{aligned} 1{,}0105\cdot1{,}0103&=1{,}02090815,\\[4pt] 1{,}02090815\cdot1{,}0101&\approx1{,}031218340\,,\\[4pt] 1{,}031218340\cdot1{,}0102&\approx1{,}041736767\,,\\[4pt] 1{,}041736767\cdot1{,}0099&\approx1{,}052049961\,,\\[4pt] 1{,}052049961\cdot1{,}0087&\approx1{,}061202796. \end{aligned}
Portanto
P\approx1{,}061202796.
  • Média geométrica dos fatores (raiz sexta do produto):
G=\bigl(P\bigr)^{1/6}=\bigl(1{,}061202796\bigr)^{1/6}.]

Passo 5

Extrair a taxa média anual equivalente a partir de G.
  • Se G é o fator médio, a taxa percentual média \bar r (em %) é
\bar r = (G-1)\times 100\%.
  • Cálculo numérico aproximado (mostrando um caminho de cálculo sem depender de cálculo mágico):
    Usando a expansão logarítmica para calcular a raiz:
\ln P \approx 0{,}059403\quad\Rightarrow\quad \ln G = \frac{1}{6}\ln P \approx 0{,}0099005.
Então
G = e^{0{,}0099005}\approx 1{,}0099495.
Logo
\bar r = (1{,}0099495-1)\times100\%\approx0{,}99495\%.
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
\bar r \approx 0{,}995\%\\ \text{ao ano}.
Observação útil (motivação extra): aqui as taxas variam pouco, por isso a média aritmética das taxas também dá praticamente o mesmo resultado: a média aritmética é \dfrac{1{,}05+1{,}03+1{,}01+1{,}02+0{,}99+0{,}87}{6}=0{,}995\%. Mas a justificativa correta conceitualmente continua sendo a média geométrica, porque o processo é composto multiplicativamente.

Resposta

a. Média geométrica.
b. \,0{,}995\%

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