Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. A equação diferencial é
O que se pede:
- Verificar se essa equação é exata.
- Se for exata, encontrar sua solução (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
Informações relevantes que temos (peguei-as do próprio enunciado):
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
Passo 2
Explicando o que significa “exata” (de modo prático e direto): uma equação na forma
é exata se existe uma função
(chamada função potencial) tal que
Uma maneira prática de testar isso é calcular as derivadas parciais mistas:
e verificar se elas são iguais em uma região onde as funções são diferenciáveis.
Passo 3
Calculemos
. Lembre que, ao derivar parcialmente em relação a
,
é tratado como constante.
Derivando em
:
Como
não depende de
, sua derivada parcial em relação a
é zero. E
. Então
Passo 4
Agora calculemos
. Aqui derivamos
em relação a
, tratando
como constante:
Passo 5
Comparemos os resultados:
Como são iguais, a equação é exata (em qualquer região onde as funções sejam diferenciáveis, o que é o caso aqui). Portanto existe
com
e
.
Passo 6
Vamos encontrar
. Método padrão: integrar
em relação a
(tratando
como constante) e ajustar com uma função que dependa só de
.
Integramos
em
:
Como
é constante frente a
, temos
E
Portanto, ao integrar
em
,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informação sobre dependência em
).
Passo 7
Determinar
diferenciando
em relação a
e igualando a
. Calcule:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim
Isolando
obtemos
. Portanto
é uma constante real, digamos
.
Passo 8
Conclusão: existe
(com
constante). A solução geral implícita da equação exata é dada por
constante, ou seja, a família de curvas de nível de
.