Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
\left(2 x \cos y-e^{x}\right) d x-x^{2} \operatorname{sen} y d y=0

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. A equação diferencial é
\left(2x\cos y - e^{x}\right)\,dx - x^{2}\operatorname{sen} y\,dy = 0.
O que se pede:
  • Verificar se essa equação é exata.
  • Se for exata, encontrar sua solução (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
Informações relevantes que temos (peguei-as do próprio enunciado):
  • M(x,y)=2x\cos y - e^{x} é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=-x^{2}\operatorname{sen} y é o coeficiente de dy.

Passo 2

Explicando o que significa “exata” (de modo prático e direto): uma equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) (chamada função potencial) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma maneira prática de testar isso é calcular as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x},
e verificar se elas são iguais em uma região onde as funções são diferenciáveis.

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial M}{\partial y}. Lembre que, ao derivar parcialmente em relação a y, x é tratado como constante.
M(x,y)=2x\cos y - e^{x}.
Derivando em y:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\cdot\frac{d}{dy}(\cos y) - \frac{d}{dy}(e^{x}).
Como e^{x} não depende de y, sua derivada parcial em relação a y é zero. E \dfrac{d}{dy}\cos y = -\sin y. Então
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x(-\sin y) = -2x\sin y.

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{\partial N}{\partial x}. Aqui derivamos N(x,y)=-x^{2}\sin y em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{dx}(-x^{2}\sin y) = -\sin y \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = -\sin y \cdot 2x = -2x\sin y.

Passo 5

Comparemos os resultados:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2x\sin y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -2x\sin y.
Como são iguais, a equação é exata (em qualquer região onde as funções sejam diferenciáveis, o que é o caso aqui). Portanto existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 6

Vamos encontrar \Phi(x,y). Método padrão: integrar M em relação a x (tratando y como constante) e ajustar com uma função que dependa só de y.
Integramos M em x:
\Phi(x,y)=\int \left(2x\cos y - e^{x}\right)\,dx.
Como \cos y é constante frente a x, temos
\int 2x\cos y\,dx = \cos y\int 2x\,dx = \cos y \cdot x^{2}.
E
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto, ao integrar M em x,
\Phi(x,y)=x^{2}\cos y - e^{x} + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informação sobre dependência em y).

Passo 7

Determinar C(y) diferenciando \Phi em relação a y e igualando a N. Calcule:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\cos y - e^{x} + C(y)\big)=x^{2}\cdot(-\sin y) + C'(y) = -x^{2}\sin y + C'(y).
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=-x^{2}\sin y. Assim
-x^{2}\sin y + C'(y) = -x^{2}\sin y.
Isolando C'(y) obtemos C'(y)=0. Portanto C(y) é uma constante real, digamos C.

Passo 8

Conclusão: existe \Phi(x,y)=x^{2}\cos y - e^{x} + C (com C constante). A solução geral implícita da equação exata é dada por \Phi(x,y)= constante, ou seja, a família de curvas de nível de \Phi.

Resposta

x^{2}\cos y - e^{x} = C

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