Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
e^{x y}(1+x y)+x^{2} e^{x y} \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. A equação fornecida é
e^{x y}(1+x y)+x^{2} e^{x y} \frac{d y}{d x}=0.
Vamos listar as informações explícitas que temos:
  • A equação está na forma M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0.
  • Identificamos, portanto,
M(x,y)=e^{x y}(1+x y), \qquad N(x,y)=x^{2}e^{x y}.
O que se pede: (1) checar se esta forma diferencial é exata; (2) se exata, encontrar a solução geral (implicita ou explícita).

Passo 2

O que significa “exata” e como testar (explicação didática).
  • Uma equação diferencial na forma M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0 pode ser escrita como a forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Ela é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
  • Um teste prático: numa região onde M e N são C^{1} (possuem derivadas parciais contínuas), a condição necessária e suficiente para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou aplicar esse teste calculando as duas derivadas parciais.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x} passo a passo.
  • Começando por M(x,y)=e^{xy}(1+xy). Usamos regra do produto e regra da cadeia:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)\cdot(1+xy) + e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(1+xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy} e \dfrac{\partial}{\partial y}(1+xy)=x, temos
\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{xy}(1+xy) + x e^{xy} = x e^{xy}\bigl((1+xy)+1\bigr) = x e^{xy}(2+xy).
  • Agora N(x,y)=x^{2}e^{xy}. Aplicando produto e cadeia (derivando em relação a x):
\frac{\partial N}{\partial x} = 2x e^{xy} + x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr) = 2x e^{xy} + x^{2}(y e^{xy}) = x e^{xy}(2+xy).
  • Conclusão do teste: como
\frac{\partial M}{\partial y}=x e^{xy}(2+xy)=\frac{\partial N}{\partial x},
a forma é exata (nessa região onde as funções são diferenciáveis).

Passo 4

Procurar a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M. Explicação do método:
  • Se \Psi_x=M, podemos obter \Psi integrando M em relação a x, tratando y como constante, e depois ajustar com uma “constante” de integração que pode depender de y.
Integramos M(x,y)=e^{xy}(1+xy) em relação a x:
\Psi(x,y)=\int e^{xy}(1+xy)\,dx + H(y),
onde H(y) é uma função que depende só de y.
Observação esperta (facilita muito a integral): reconhecer que a derivada em relação a x de x e^{xy} é
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{xy}\bigr)=e^{xy} + x\cdot y e^{xy}=e^{xy}(1+xy),
ou seja, a integranda é exatamente essa derivada. Portanto
\int e^{xy}(1+xy)\,dx = x e^{xy}.
Assim
\Psi(x,y)=x e^{xy}+H(y).

Passo 5

Determinar H(y) usando a condição \Psi_y=N. Explicação:
  • Diferenciando a expressão obtida para \Psi em relação a y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{xy}\bigr) + H'(y).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}, obtemos
\Psi_y = x\cdot(x e^{xy}) + H'(y) = x^{2}e^{xy} + H'(y).
  • Mas devemos ter \Psi_y=N(x,y)=x^{2}e^{xy}. Portanto
x^{2}e^{xy} + H'(y) = x^{2}e^{xy} \quad\Rightarrow\quad H'(y)=0.
  • Logo H(y) é constante: H(y)=C (constante real).

Passo 6

Escrever a solução geral a partir da função potencial. Explicação final:
  • A solução implicita de uma equação exata é \Psi(x,y)= constante. Como \Psi(x,y)=x e^{xy}+C, podemos escrever a solução geral (absorvendo C em outro valor constante arbitrário) como
x e^{x y}=K,
onde K é constante arbitrária.
  • Se desejar uma expressão explícita para y (quando possível), pode-se tomar logaritmo (lembrando da condição x\neq0 e também da necessidade de K/x>0 caso se queira y real):
e^{xy}=\frac{K}{x} \quad\Rightarrow\quad xy=\ln\!\left(\frac{K}{x}\right) \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{K}{x}\right).
Essa forma explícita é válida onde os logaritmos fazem sentido (dependendo do sinal de K/x); portanto a forma implícita x e^{xy}=K é a resposta geral mais segura.

Resposta

A equação é exata.
A solução geral implícita é x e^{x y}=K, onde K é constante.
Uma forma explícita (quando válida) é y=\dfrac{1}{x}\ln\!\left(\dfrac{K}{x}\right).

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