Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. A equação fornecida é
Vamos listar as informações explícitas que temos:
- A equação está na forma
. - Identificamos, portanto,
O que se pede: (1) checar se esta forma diferencial é exata; (2) se exata, encontrar a solução geral (implicita ou explícita).
Passo 2
O que significa “exata” e como testar (explicação didática).
- Uma equação diferencial na forma
pode ser escrita como a forma diferencial
- Ela é exata se existe uma função potencial
tal que
- Um teste prático: numa região onde
e são (possuem derivadas parciais contínuas), a condição necessária e suficiente para exatidão é
Vou aplicar esse teste calculando as duas derivadas parciais.
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
- Começando por
. Usamos regra do produto e regra da cadeia:
Como
e
, temos
- Agora
. Aplicando produto e cadeia (derivando em relação a ):
- Conclusão do teste: como
a forma é exata (nessa região onde as funções são diferenciáveis).
Passo 4
Procurar a função potencial
tal que
. Explicação do método:
- Se
, podemos obter integrando em relação a , tratando como constante, e depois ajustar com uma “constante” de integração que pode depender de .
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função que depende só de
.
Observação esperta (facilita muito a integral): reconhecer que a derivada em relação a de
é
Observação esperta (facilita muito a integral): reconhecer que a derivada em relação a
ou seja, a integranda é exatamente essa derivada. Portanto
Assim
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Explicação:
- Diferenciando a expressão obtida para
em relação a :
Como
, obtemos
- Mas devemos ter
. Portanto
- Logo
é constante: (constante real).
Passo 6
Escrever a solução geral a partir da função potencial. Explicação final:
- A solução implicita de uma equação exata é
constante. Como , podemos escrever a solução geral (absorvendo em outro valor constante arbitrário) como
onde
é constante arbitrária.
- Se desejar uma expressão explícita para
(quando possível), pode-se tomar logaritmo (lembrando da condição e também da necessidade de caso se queira real):
Essa forma explícita é válida onde os logaritmos fazem sentido (dependendo do sinal de
); portanto a forma implícita
é a resposta geral mais segura.
Resposta
A equação é exata.
A solução geral implícita é , onde
é constante.
Uma forma explícita (quando válida) é .
A solução geral implícita é
Uma forma explícita (quando válida) é