A taxa de difusão da enzima ribonuclease em um material de suporte de cromatografia porosa foi medida a 298 K . Um coeficiente de difusão efetivo de 5 \times 10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} foi obtido a partir de um experimento baseado na difusão da enzima através de um único poro cilíndrico. Estime o diâmetro do poro ( d_{\text {poro }} ) necessário para atingir esse coeficiente de difusão efetivo. O coeficiente de difusão molecular da ribonuclease em água é 1,19 x 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} a 298 K, e o diâmetro dessa molécula é de 3,6 nm.

Passo 1

O enunciado pede que, dado um coeficiente de difusão efetivo \,D_{\text{eff}}=5\times10^{-7}\,\mathrm{cm^2/s} medido em um único poro cilíndrico, estimemos o diâmetro do poro d_{\text{poro}}. Sabemos também que o coeficiente de difusão livre na fase aquosa é D_{0}=1,19\times10^{-6}\,\mathrm{cm^2/s} e que o diâmetro da molécula de ribonuclease é d_{\text{mol}}=3{,}6\,\mathrm{nm}. O conteúdo envolve modelo de difusão dificultada em poros (equação de Renkin).

Passo 2

Definimos a relação adimensional
\lambda = \frac{a}{R},
onde a é o raio da molécula e R é o raio do poro. Logo
a = \frac{d_{\text{mol}}}{2} = \frac{3{,}6\,\mathrm{nm}}{2} = 1{,}8\,\mathrm{nm}.
A equação de Renkin para difusão em um poro cilíndrico dá
\frac{D_{\text{eff}}}{D_{0}} = (1 - \lambda)^{2}\, \bigl(1 - 2{,}104\,\lambda + 2{,}09\,\lambda^{3} - 0{,}95\,\lambda^{5}\bigr).

Passo 3

Calculamos a razão entre o coeficiente efetivo e o livre:
\varphi = \frac{D_{\text{eff}}}{D_{0}} = \frac{5\times10^{-7}}{1,19\times10^{-6}} \approx 0{,}42.

Passo 4

Agora precisamos achar \lambda que satisfaça
(1 - \lambda)^{2}\, \bigl(1 - 2{,}104\,\lambda + 2{,}09\,\lambda^{3} - 0{,}95\,\lambda^{5}\bigr) = 0{,}42.
Fazendo tentativa numérica (ou pequena iteração), obtém-se aproximadamente
\lambda \approx 0{,}18.
Então o raio do poro vale
R = \frac{a}{\lambda} = \frac{1{,}8\,\mathrm{nm}}{0{,}18} \approx 10\,\mathrm{nm},
e o diâmetro do poro é
d_{\text{poro}} = 2\,R \approx 20\,\mathrm{nm}.

Resposta

O diâmetro do poro necessário é aproximadamente 20\,\mathrm{nm}.

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