A taxa de geração de calor numa parede plana, isolada na sua face esquerda e mantida a uma temperatura uniforme T2 na face direita, é dada por:
g(x)=g0 e^-gamma x W / m^3
onde go e Y são constantes e x é medido a partir da face esquerda da esquerda. Desenvolver uma expressão para a distribuição de temperatura na parede plana e deduzir a expressão para a temperatura da superfície isolada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre como o calor se distribui numa parede plana que está gerando calor internamente. A parede tem uma face isolada (ou seja, não troca calor com o ambiente) e a outra face está mantida a uma temperatura constante $ T_2 $. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia ao longo da parede e, especialmente, qual é a temperatura na face isolada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação básica da condução de calor em regime estacionário (ou seja, onde as temperaturas não mudam com o tempo). A equação é:
d^2 Tdx^2 = -g(x)k
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ x $ é a posição dentro da parede, $ g(x) $ é a taxa de geração de calor, e $ k $ é a condutividade térmica da parede.

Passo 3

No nosso caso, a taxa de geração de calor é dada por $ g(x) = g_0 e^{-\gamma x} $. Substituindo isso na equação, temos:
g(x) = g0 e^-gamma x
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a distribuição de temperatura $ T(x) $.

Passo 4

Vamos integrar a equação duas vezes para encontrar $ T(x) $. Primeiro, integramos uma vez:
T(x)
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente para encontrar $ T(x) $:
T(x)
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração. Agora, precisamos determinar essas constantes usando as condições de contorno.

Passo 6

Vamos aplicar as condições de contorno:
  1. Face isolada (x = 0): Como está isolada, não há fluxo de calor, ou seja, a derivada da temperatura em x = 0 é zero.
dTdxg|x=0 = 0 = g0k gamma + C1 Rightarrow C1 = -g0k gamma
  1. Face direita (x = L) com temperatura $ T_2 $:
T2
Resolvendo para $ C_2 $:
T(L) = g0k gamma^2 e^-gamma L - g0k gamma L + C2 = T2

Passo 7

Agora, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na expressão geral de $ T(x) $:
C1
Simplificando, temos:
C2

Passo 8

Finalmente, queremos a temperatura na face isolada, que é $ x = 0 $:
x = 0

Resposta

A distribuição de temperatura na parede é:
T(x) = T2 + g0k gamma^2 ( e^-gamma L - e^-gamma x ) + g0k gamma (L - x)
E a temperatura da superfície isolada (quando $ x = 0 $) é:
x = 0

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