A taxa de geração de calor numa parede plana, isolada na sua face esquerda e mantida a uma temperatura uniforme
na face direita, é dada por:
onde go e
são constantes e
é medido a partir da face esquerda da esquerda. Desenvolver uma expressão para a distribuição de temperatura na parede plana e deduzir a expressão para a temperatura da superfície isolada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre como o calor se distribui numa parede plana que está gerando calor internamente. A parede tem uma face isolada (ou seja, não troca calor com o ambiente) e a outra face está mantida a uma temperatura constante $ T_2 $. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura varia ao longo da parede e, especialmente, qual é a temperatura na face isolada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação básica da condução de calor em regime estacionário (ou seja, onde as temperaturas não mudam com o tempo). A equação é:
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ x $ é a posição dentro da parede, $ g(x) $ é a taxa de geração de calor, e $ k $ é a condutividade térmica da parede.
Passo 3
No nosso caso, a taxa de geração de calor é dada por $ g(x) = g_0 e^{-\gamma x} $. Substituindo isso na equação, temos:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a distribuição de temperatura $ T(x) $.
Passo 4
Vamos integrar a equação duas vezes para encontrar $ T(x) $. Primeiro, integramos uma vez:
Aqui, $ C_1 $ é a constante de integração.
Passo 5
Integrando novamente para encontrar $ T(x) $:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração. Agora, precisamos determinar essas constantes usando as condições de contorno.
Passo 6
Vamos aplicar as condições de contorno:
- Face isolada (x = 0): Como está isolada, não há fluxo de calor, ou seja, a derivada da temperatura em x = 0 é zero.
- Face direita (x = L) com temperatura $ T_2 $:
Resolvendo para $ C_2 $:
Passo 7
Agora, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na expressão geral de $ T(x) $:
Simplificando, temos:
Passo 8
Finalmente, queremos a temperatura na face isolada, que é $ x = 0 $:
Resposta
A distribuição de temperatura na parede é:
E a temperatura da superfície isolada (quando $ x = 0 $) é: