A taxa de nucleação de cristais é dada por:
r=200 \cdot d-10 \cdot d^{2}
Quais são as unidades das constantes 200 e 10?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a taxa de nucleação e uma variável d:
r = 200\cdot d - 10\cdot d^{2}.
O que se pede: determinar as unidades das constantes 200 e 10.
Informações relevantes fornecidas:
  • r é a taxa de nucleação (unidade não explicitada) — denotar a unidade genérica por [r].
  • d é uma grandeza (por exemplo um comprimento, diâmetro) — denotar sua unidade genérica por [d].
  • A equação soma dois termos 200\cdot d e 10\cdot d^{2}, e o resultado é r.

Passo 2

Princípio chave (análise dimensional): numa equação física todos os termos somados devem ter a mesma unidade. Isso significa que cada termo da soma deve ter a unidade de r. Vou usar essa regra para obter as unidades das constantes. Explicando rápido: se \text{term}_1+\text{term}_2=\text{result}, então [\text{term}_1]=[\text{term}_2]=[\text{result}].

Passo 3

Aplicando ao primeiro termo \,200\cdot d: esse produto deve ter a mesma unidade de r. Em notação de unidades:
[200\cdot d]=[r].
Como [200\cdot d]=[200]\,[d], segue
[200]\,[d]=[r]\quad\Rightarrow\quad [200]=\dfrac{[r]}{[d]}.
Interpretação: a unidade da constante 200 é a unidade de r dividida pela unidade de d.

Passo 4

Aplicando ao segundo termo \,10\cdot d^{2}: esse termo também deve ter a mesma unidade de r. Em notação:
[10\cdot d^{2}]=[r].
Como [10\cdot d^{2}]=[10]\,[d]^{2}, temos
[10]\,[d]^{2}=[r]\quad\Rightarrow\quad [10]=\dfrac{[r]}{[d]^{2}}.
Interpretação: a unidade da constante 10 é a unidade de r dividida pela unidade de d^{2}.

Passo 5

Exemplo concreto (opcional, só pra visualizar): se a taxa de nucleação for medida em núcleos por volume por tempo, por exemplo [r]=\mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}, e d for um comprimento em metros [d]=\mathrm{m}, então
[200]=\dfrac{\mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}}{\mathrm{m}}=\mathrm{m^{-4}\,s^{-1}}, \qquad [10]=\dfrac{\mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}}{\mathrm{m^{2}}}=\mathrm{m^{-5}\,s^{-1}}.
Esse exemplo mostra como transformar a resposta genérica em unidades numéricas caso as unidades de r e d sejam conhecidas.

Passo 6

Recapitulando de forma direta: usei homogeneidade dimensional (cada termo da soma tem unidade [r]) e isolei as unidades das constantes dividindo por potências apropriadas de [d].

Resposta

[200]=\dfrac{[r]}{[d]}
[10]=\dfrac{[r]}{[d]^{2}}

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