A energia potencial de um fluido em um reservatório elevado é dada por:
E=m \cdot g \cdot h
onde:
E = energia (J)
m = massa (kg)
\mathrm{g}= aceleração da gravidade ( \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} )
\mathrm{h}= altura (m)
a. Verifique se a equação está dimensionalmente consistente com a unidade de energia em joules.
b. Qual é a análise dimensional da expressão m•g•h?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • O enunciado apresenta a expressão da energia potencial de um fluido em um reservatório elevado:
E = m \cdot g \cdot h
  • As grandezas e suas unidades aparecem assim no enunciado:
    • E = energia (J)
    • m = massa (kg)
    • g = aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}})
    • h = altura (m)
As perguntas são:
a. Verificar se a equação está dimensionalmente consistente com a unidade de energia em joules.
b. Fornecer a análise dimensional da expressão m\cdot g\cdot h.

Passo 2

O que significa “verificar dimensionalmente”? Vou explicar: uma equação física é dimensionalmente consistente se as dimensões (tipo massa, comprimento, tempo) do lado esquerdo forem iguais às do lado direito. Para verificar isso, eu substituo cada grandeza pela sua dimensão básica e comparo.
Vou listar as dimensões fundamentais e as unidades SI correspondentes das grandezas envolvidas:
  • A massa m tem dimensão e unidade: [m] = \mathrm{M}, unidade \mathrm{kg}.
  • A aceleração g tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado: [g] = \mathrm{L\,T^{-2}}, unidade \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • A altura h tem dimensão de comprimento: [h] = \mathrm{L}, unidade \mathrm{m}.
  • A energia E tem dimensão (por definição física) \mathrm{M\,L^{2}\,T^{-2}} e a unidade SI correspondente é o joule: \mathrm{J} = \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}.

Passo 3

Agora calculo a dimensão do produto m\cdot g\cdot h substituindo cada fator pela sua dimensão:
[m\cdot g\cdot h] = [m]\,[g]\,[h].
Substituindo:
[m\cdot g\cdot h] = \mathrm{M}\times\mathrm{L\,T^{-2}}\times\mathrm{L}.
Agrupando os mesmos tipos (potências de \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}):
[m\cdot g\cdot h] = \mathrm{M}\,\mathrm{L^{2}}\,\mathrm{T^{-2}}.

Passo 4

Agora comparar com a dimensão da energia E. Sabemos que a energia tem dimensão
[E] = \mathrm{M}\,\mathrm{L^{2}}\,\mathrm{T^{-2}}.
Então, as dimensões coincidem:
[m\cdot g\cdot h] = [E] = \mathrm{M}\,\mathrm{L^{2}}\,\mathrm{T^{-2}}.
Isto mostra que a forma dimensional de mgh é a mesma da energia, ou seja, a expressão é dimensionalmente consistente.

Passo 5

Também é útil mostrar a verificação em termos de unidades SI (para ver que dá joule):
  • Unidade de m: \mathrm{kg}.
  • Unidade de g: \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Unidade de h: \mathrm{m}.
Multiplicando as unidades:
\mathrm{kg}\times(\mathrm{m\,s^{-2}})\times\mathrm{m} = \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}.
E por definição
\mathrm{J} = \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}.
Portanto as unidades também conferem: mgh tem unidade de joule.

Passo 6

Resumo final didático curto (para a prova): diga os passos curtos que deve escrever na folha:
  1. Escrever dimensões: [m]=\mathrm{M}, [g]=\mathrm{L\,T^{-2}}, [h]=\mathrm{L}.
  2. Multiplicar: [mgh]=\mathrm{M\,L^{2}\,T^{-2}}.
  3. Comparar com [E]=\mathrm{M\,L^{2}\,T^{-2}} e concluir que é consistente.
  4. Opcional: mostrar unidades SI para concluir \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}=\mathrm{J}.

Resposta

a. Sim. As dimensões/unidades coincidem: [mgh]=\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}=\mathrm{J}.
b. Análise dimensional: [m\cdot g\cdot h]=\mathrm{M\,L^{2}\,T^{-2}} (unidade SI \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}).

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