A energia potencial de um fluido em um reservatório elevado é dada por:
onde:
E = energia (J)
m = massa (kg)
aceleração da gravidade (
)
altura (m)
a. Verifique se a equação está dimensionalmente consistente com a unidade de energia em joules.
b. Qual é a análise dimensional da expressão m•g•h?
onde:
E = energia (J)
m = massa (kg)
a. Verifique se a equação está dimensionalmente consistente com a unidade de energia em joules.
b. Qual é a análise dimensional da expressão m•g•h?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele dá.
- O enunciado apresenta a expressão da energia potencial de um fluido em um reservatório elevado:
- As grandezas e suas unidades aparecem assim no enunciado:
-
= energia (J) -
= massa (kg) -
= aceleração da gravidade ( ) -
= altura (m)
-
As perguntas são:
a. Verificar se a equação está dimensionalmente consistente com a unidade de energia em joules.
b. Fornecer a análise dimensional da expressão .
a. Verificar se a equação está dimensionalmente consistente com a unidade de energia em joules.
b. Fornecer a análise dimensional da expressão
Passo 2
O que significa “verificar dimensionalmente”? Vou explicar: uma equação física é dimensionalmente consistente se as dimensões (tipo massa, comprimento, tempo) do lado esquerdo forem iguais às do lado direito. Para verificar isso, eu substituo cada grandeza pela sua dimensão básica e comparo.
Vou listar as dimensões fundamentais e as unidades SI correspondentes das grandezas envolvidas:
- A massa
tem dimensão e unidade: , unidade . - A aceleração
tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado: , unidade . - A altura
tem dimensão de comprimento: , unidade . - A energia
tem dimensão (por definição física) e a unidade SI correspondente é o joule: .
Passo 3
Agora calculo a dimensão do produto
substituindo cada fator pela sua dimensão:
Substituindo:
Agrupando os mesmos tipos (potências de
):
Passo 4
Agora comparar com a dimensão da energia
. Sabemos que a energia tem dimensão
Então, as dimensões coincidem:
Isto mostra que a forma dimensional de
é a mesma da energia, ou seja, a expressão é dimensionalmente consistente.
Passo 5
Também é útil mostrar a verificação em termos de unidades SI (para ver que dá joule):
- Unidade de
: . - Unidade de
: . - Unidade de
: .
Multiplicando as unidades:
E por definição
Portanto as unidades também conferem:
tem unidade de joule.
Passo 6
Resumo final didático curto (para a prova): diga os passos curtos que deve escrever na folha:
- Escrever dimensões:
, , . - Multiplicar:
. - Comparar com
e concluir que é consistente. - Opcional: mostrar unidades SI para concluir
.
Resposta
a. Sim. As dimensões/unidades coincidem:
.
b. Análise dimensional: (unidade SI
).
b. Análise dimensional: