A taxa de variação da receita da indústria de computadores e processamento de dados nos Estados Unidos, entre 1985 e 1998, pode ser modelado pela função dR / dt=0,1056 cdot t^2+550,9 cdot e^-t, onde R é a receita (em bilhões de dólares) e t=5 representa o ano de 1985. Em 1985, a receita foi de 45,1 bilhões de dólares (Fonte Census Bureau).
Qual foi a receita média no período de 1985 a 1998 ?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da receita R(t) em bilhões de dólares como dRdt=0,1056,t^2+550,9,e^-t, com t=5 para 1985 e R(5)=45,1. A meta é achar a receita média de 1985 ( t=5) a 1998 ( t=18), usando a fórmula do valor médio de uma função:
R=1b-aintegrala^b R(t),dt, onde a=5 e b=18.

Passo 2

Para obter R(t), integramos dRdt=0,1056,t^2+550,9,e^-t.
integral0,1056,t^2,dt=0,0352,t^3,integral550,9,e^-t,dt=-550,9,e^-t Logo
R(t)=0,0352,t^3-550,9,e^-t+C Aplicando R(5)=45,1
0,0352cdot125-550,9,e^-5+C=45,1implies Capprox44,412

Passo 3

Precisamos da primitiva de R(t) para calcular integral R(t),dt. Integrando termo a termo:
integral0,0352,t^3,dt=0,0088,t^4,integral-550,9,e^-t,dt=550,9,e^-t,integral44,41196,dt=44,41196,t Assim
A(t)=0,0088,t^4+550,9,e^-t+44,41196,t é uma antiderivada de R(t).

Passo 4

Calculamos a integral no intervalo:
integral5^18R(t),dt=A(18)-A(5) Substituindo, obtemos aproximadamente
A(18)approx1723,204, A(5)approx231,272, A(18)-A(5)approx1491,932

Passo 5

Finalmente, a receita média é
R=118-5l(!integral5^18R(t),dtr)=1491,93213approx114,8

Resposta

A receita média de 1985 a 1998 foi de aproximadamente 114,8 bilhões de dólares.

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