O conjunto consiste em um elemento de alumínio 6061-\mathrm{T} 6(\mathrm{E}=68,9 \mathrm{GPa}, v=0,35) e um elemento de latão \mathrm{C} 83400(\mathrm{E}=103 \mathrm{GPa}, v=0,35) que repousam sobre chapas rígidas. Determinar a distância d em que a força P deve ser colocada sobre as chapas, de modo que estas permaneçam horizontais quando os materiais se deformarem. Cada elemento tem largura de 200 mm , e eles não estão unidos.

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O conjunto tem dois elementos verticais sob chapas rígidas: um de alumínio com E_{Al}=68{,}9\\ \mathrm{GPa} e outro de latão com E_{Br}=103\\ \mathrm{GPa}. Ambos têm Poisson v=0{,}35 (não será necessário aqui).
  • Cada elemento tem largura 200\\ \mathrm{mm}. Eles não estão unidos (ou seja, cada um pode deformar independentemente).
  • As chapas são rígidas — isso significa que, se a chapa não rodar, ela permanece plana (mesma deslocamento vertical em toda sua extensão); se a chapa rodar, aparecem diferenças de deslocamento entre as posições dos dois elementos.
  • Queremos determinar a distância d onde a força P deve ser aplicada sobre a chapa para que as chapas permaneçam horizontais quando os materiais se deformarem.
  • Interpretação geométrica usada (padrão para esse tipo de problema): os dois elementos estão lado a lado sobre a chapa; como cada um tem largura 200\\ \mathrm{mm}, a chapa tem largura total 400\\ \mathrm{mm}. Tomarei como referência a borda esquerda da chapa igual a x=0. Os centros dos elementos ficam em x_1 = 100\\ \mathrm{mm}\quad\text{(centro do elemento esquerdo)}
x_2 = 300\\ \mathrm{mm}\quad\text{(centro do elemento direito)}
  • Observação: o enunciado não dava explicitamente as posições, mas a convenção natural com larguras 200\\ \mathrm{mm} é essa. Caso tu meça d a partir de outro ponto (por exemplo, do centro da chapa), eu vou dar a relação final também.

Passo 2

Escolher o método e escrever as equações básicas (explicar por que).
  • Ideia física: para que a chapa permaneça horizontal não pode haver diferença de deslocamento vertical entre a posição dos dois elementos. Isso implica que as deformações axiais (ou os deslocamentos axiais) dos dois elementos devem ser iguais. Essa é a condição de compatibilidade.
  • Equilíbrio estático para a chapa sob a força P e reações F_1 e F_2 nos dois elementos: F_1 + F_2 = Pe equilíbrio de momentos (tomando momentos em relação à borda esquerda, por exemplo): F_1 x_1 + F_2 x_2 = P d.Essas duas equações relacionam as forças nos elementos com a posição d de aplicação de P.
  • Relação entre força e deformação axial (Lei de Hooke em barra axial): para uma barra de comprimento L, área A e módulo de Young E, a contração axial sob força F é \delta = \frac{F L}{A E}.Aqui L é o comprimento (distância entre chapas), A é a área da seção transversal, E o módulo de elasticidade, F a força axial, e \delta o deslocamento axial.
  • Condição de compatibilidade (chapas permanecem paralelas): \delta_1 = \delta_2.Aplicando a fórmula de \delta: \frac{F_1 L}{A_1 E_{Al}} = \frac{F_2 L}{A_2 E_{Br}}.Como normalmente os dois elementos têm a mesma profundidade (espessura no terceiro eixo) e mesma altura L, e as larguras foram dadas iguais ( 200\\ \mathrm{mm}), podemos considerar A_1=A_2. Assim o L e A cancelam, restando \frac{F_1}{E_{Al}} = \frac{F_2}{E_{Br}}.Ou seja \frac{F_1}{F_2} = \frac{E_{Al}}{E_{Br}}.Explicação curta: barras mais rígidas (maior E) “pegam” mais carga quando têm a mesma área e comprimento, para que as deformações fiquem iguais.

Passo 3

Expressar F_1 e F_2 em função de P usando a relação de rigidezes.
  • Da razão \dfrac{F_1}{F_2}=\dfrac{E_{Al}}{E_{Br}} e da soma F_1+F_2=P, obtemos: F_1 = P\cdot\frac{E_{Al}}{E_{Al}+E_{Br}},\qquad F_2 = P\cdot\frac{E_{Br}}{E_{Al}+E_{Br}}.Isso vem de dividir a soma em partes proporcionais aos módulos E quando as áreas/lengths são iguais.

Passo 4

Calcular numericamente as frações (substituir Es).
  • Substituindo E_{Al}=68{,}9\\ \mathrm{GPa} e E_{Br}=103\\ \mathrm{GPa}: F_1 = P\cdot\frac{68{,}9}{68{,}9+103} = P\cdot\frac{68{,}9}{171{,}9},
F_2 = P\cdot\frac{103}{171{,}9}.
Numéricamente as frações são aproximadamente
\frac{68{,}9}{171{,}9}\approx 0{,}4005,\qquad \frac{103}{171{,}9}\approx 0{,}5995.

Passo 5

Usar o equilíbrio de momentos para achar d.
  • A equação de momentos em relação à borda esquerda era P d = F_1 x_1 + F_2 x_2.Substituindo F_1 e F_2: d = \frac{F_1 x_1 + F_2 x_2}{P} = \frac{E_{Al} x_1 + E_{Br} x_2}{E_{Al}+E_{Br}}.Agora substituímos os valores numéricos com x_1=100\\ \mathrm{mm} e x_2=300\\ \mathrm{mm}: d = \frac{68{,}9\cdot 100 + 103\cdot 300}{171{,}9}\\ \mathrm{mm}.Calculemos o numerador: 68{,}9\cdot 100 = 6\,890,\qquad 103\cdot 300 = 30\,900,
\text{numerador} = 6\,890 + 30\,900 = 37\,790.
Então
d = \frac{37\,790}{171{,}9}\\ \mathrm{mm}\approx 219{,}84\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretar o resultado e dar a posição em relação ao centro da chapa (que costuma ser a referência mais útil).
  • A partir da borda esquerda obtivemos d \approx 219{,}84\\ \mathrm{mm}.
  • O centro da chapa (meio entre os dois elementos) está em 200\\ \mathrm{mm} da borda esquerda. Então a posição de P em relação ao centro é d_{\text{centro}} = d - 200\\ \mathrm{mm} \approx 19{,}84\\ \mathrm{mm}para a direita do centro (isto é, a força deve ser deslocada para o lado do elemento mais rígido — no caso o latão — o suficiente para que as maiores cargas naquele lado façam as duas deformações iguais).

Resposta

d = 219{,}84\\ \mathrm{mm} (medido a partir da borda esquerda da chapa)
d = 19{,}84\\ \mathrm{mm} para a direita do centro da chapa

Exercícios relacionados