O conjunto consiste em um elemento de alumínio
e um elemento de latão
que repousam sobre chapas rígidas. Determinar a distância d em que a força P deve ser colocada sobre as chapas, de modo que estas permaneçam horizontais quando os materiais se deformarem. Cada elemento tem largura de 200 mm , e eles não estão unidos.
Passo 1
Entender o que o enunciado pede e os dados que temos.
- O conjunto tem dois elementos verticais sob chapas rígidas: um de alumínio com
e outro de latão com . Ambos têm Poisson (não será necessário aqui). - Cada elemento tem largura
. Eles não estão unidos (ou seja, cada um pode deformar independentemente). - As chapas são rígidas — isso significa que, se a chapa não rodar, ela permanece plana (mesma deslocamento vertical em toda sua extensão); se a chapa rodar, aparecem diferenças de deslocamento entre as posições dos dois elementos.
- Queremos determinar a distância
onde a força deve ser aplicada sobre a chapa para que as chapas permaneçam horizontais quando os materiais se deformarem. - Interpretação geométrica usada (padrão para esse tipo de problema): os dois elementos estão lado a lado sobre a chapa; como cada um tem largura
, a chapa tem largura total . Tomarei como referência a borda esquerda da chapa igual a . Os centros dos elementos ficam em
- Observação: o enunciado não dava explicitamente as posições, mas a convenção natural com larguras
é essa. Caso tu meça a partir de outro ponto (por exemplo, do centro da chapa), eu vou dar a relação final também.
Passo 2
Escolher o método e escrever as equações básicas (explicar por que).
- Ideia física: para que a chapa permaneça horizontal não pode haver diferença de deslocamento vertical entre a posição dos dois elementos. Isso implica que as deformações axiais (ou os deslocamentos axiais) dos dois elementos devem ser iguais. Essa é a condição de compatibilidade.
- Equilíbrio estático para a chapa sob a força
e reações e nos dois elementos: e equilíbrio de momentos (tomando momentos em relação à borda esquerda, por exemplo): Essas duas equações relacionam as forças nos elementos com a posição de aplicação de . - Relação entre força e deformação axial (Lei de Hooke em barra axial): para uma barra de comprimento
, área e módulo de Young , a contração axial sob força é Aqui é o comprimento (distância entre chapas), é a área da seção transversal, o módulo de elasticidade, a força axial, e o deslocamento axial. - Condição de compatibilidade (chapas permanecem paralelas):
Aplicando a fórmula de : Como normalmente os dois elementos têm a mesma profundidade (espessura no terceiro eixo) e mesma altura , e as larguras foram dadas iguais ( ), podemos considerar . Assim o e cancelam, restando Ou seja Explicação curta: barras mais rígidas (maior ) “pegam” mais carga quando têm a mesma área e comprimento, para que as deformações fiquem iguais.
Passo 3
Expressar
e
em função de
usando a relação de rigidezes.
- Da razão
e da soma , obtemos: Isso vem de dividir a soma em partes proporcionais aos módulos quando as áreas/lengths são iguais.
Passo 4
Calcular numericamente as frações (substituir
s).
- Substituindo
e :
Numéricamente as frações são aproximadamente
Passo 5
Usar o equilíbrio de momentos para achar
.
- A equação de momentos em relação à borda esquerda era
Substituindo e : Agora substituímos os valores numéricos com e : Calculemos o numerador:
Então
Passo 6
Interpretar o resultado e dar a posição em relação ao centro da chapa (que costuma ser a referência mais útil).
- A partir da borda esquerda obtivemos
- O centro da chapa (meio entre os dois elementos) está em
da borda esquerda. Então a posição de em relação ao centro é para a direita do centro (isto é, a força deve ser deslocada para o lado do elemento mais rígido — no caso o latão — o suficiente para que as maiores cargas naquele lado façam as duas deformações iguais).