Uma técnica para fazer imagens de superfícies em escala nanométrica, incluindo membranas e biomoléculas, é o microscópio dinâmico de força atômica. Neste exemplo, uma pequena ponta é presa a uma peça em balanço, que é uma barra flexível, retangular e apoiada em uma ponta, como um trampolim de mergulho. A peça vibra, de modo que a ponta sobe e desce em um movimento harmônico simples. Em um modo de operação, a frequência ressonante para uma peça com constante de força
é de 100 kHz . À medida que a ponta oscilante é trazida para alguns nanômetros da superfície da amostra (como mostra a figura), ela experimenta uma força atrativa da superfície. Para uma oscilação com uma pequena amplitude (normalmente,
), a força
que a superfície da amostra exerce sobre a ponta varia linearmente com o deslocamento
da ponta,
, onde
é a constante de força efetiva para essa força. A força resultante sobre a ponta é, portanto,
, e a frequência da oscilação muda ligeiramente em razão da interação com a superfície. As medições da frequência enquanto a ponta se move por diferentes partes da superfície da amostra podem dar informações sobre a amostra. A) Se modelarmos o sistema vibratório como uma massa sobre uma mola, qual é a massa necessária para conseguir a frequência desejada quando a ponta não estiver interagindo com a superfície? b) Por qual porcentagem a frequência de oscilação varia se
?
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador massa-mola com constante de mola
que vibra em frequência ressonante de
quando não há interação com a superfície. Precisamos:
a) Encontrar a massa que dá essa frequência.
b) Calcular a variação percentual da frequência se aparecer uma mola efetiva adicional de constante .
a) Encontrar a massa
b) Calcular a variação percentual da frequência se aparecer uma mola efetiva adicional de constante
Passo 2
A frequência de um sistema massa-mola é dada por
Isolando
, vem
Substituindo
e
:
Passo 3
Com a interação, a constante total fica
A nova frequência é
Comparando com a frequência original
, a razão é
A variação percentual vale
Resposta
a)
b) A frequência varia em cerca de .
b) A frequência varia em cerca de