Uma técnica para fazer imagens de superfícies em escala nanométrica, incluindo membranas e biomoléculas, é o microscópio dinâmico de força atômica. Neste exemplo, uma pequena ponta é presa a uma peça em balanço, que é uma barra flexível, retangular e apoiada em uma ponta, como um trampolim de mergulho. A peça vibra, de modo que a ponta sobe e desce em um movimento harmônico simples. Em um modo de operação, a frequência ressonante para uma peça com constante de força k=1.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} é de 100 kHz . À medida que a ponta oscilante é trazida para alguns nanômetros da superfície da amostra (como mostra a figura), ela experimenta uma força atrativa da superfície. Para uma oscilação com uma pequena amplitude (normalmente, 0,050 \mathrm{~nm} ), a força F que a superfície da amostra exerce sobre a ponta varia linearmente com o deslocamento x da ponta, |F|=k_{\text {sup }} x, onde k_{\text {sup }} é a constante de força efetiva para essa força. A força resultante sobre a ponta é, portanto, \left(k+k_{\text {sup }}\right) x, e a frequência da oscilação muda ligeiramente em razão da interação com a superfície. As medições da frequência enquanto a ponta se move por diferentes partes da superfície da amostra podem dar informações sobre a amostra. A) Se modelarmos o sistema vibratório como uma massa sobre uma mola, qual é a massa necessária para conseguir a frequência desejada quando a ponta não estiver interagindo com a superfície? b) Por qual porcentagem a frequência de oscilação varia se k_{\text {sup }}=5 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola com constante de mola k = 1\,000\\ \mathrm{N/m} que vibra em frequência ressonante de 100\\ \mathrm{kHz} quando não há interação com a superfície. Precisamos:
a) Encontrar a massa m que dá essa frequência.
b) Calcular a variação percentual da frequência se aparecer uma mola efetiva adicional de constante k_{\text{sup}}=5\\ \mathrm{N/m}.

Passo 2

A frequência de um sistema massa-mola é dada por
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Isolando m, vem
m = \frac{k}{(2\pi f)^2}.
Substituindo k = 1\,000\\ \mathrm{N/m} e f = 100\\ \mathrm{kHz} = 1\times10^5\\ \mathrm{Hz}:
(2\pi f)^2 = 4\pi^2 \,(1\times10^5)^2 \approx 4\pi^2\times10^{10}\approx3{,}95\times10^{11},
m = \frac{1{,}0\times10^3}{3{,}95\times10^{11}}\approx2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Com a interação, a constante total fica
k_{\text{tot}} = k + k_{\text{sup}} = 1\,000 + 5 = 1\,005\\ \mathrm{N/m}.
A nova frequência é
f' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\text{tot}}}{m}}.
Comparando com a frequência original f, a razão é
\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{k + k_{\text{sup}}}{k}} = \sqrt{1 + \frac{k_{\text{sup}}}{k}}.
A variação percentual vale
\Bigl(\sqrt{1 + \tfrac{5}{1\,000}} - 1\Bigr)\times100\% = \bigl(\sqrt{1{,}005}-1\bigr)\times100\%\approx0{,}25\%.

Resposta

a) m \approx 2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{kg}.
b) A frequência varia em cerca de 0{,}25\%.

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