Tem-se 5 mols de moléculas de um gás ideal ocupando inicialmente o volume de 0,1 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{e} exercendo pressão de 2 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. A partir desse estado, o gás se expande isotermicamente, até ocupar o volume de 0,2 \mathrm{~m}^{3}. Determine:
a) A temperatura em que ocorre a transformação
b) A pressão final do gás
c) O trabalho realizado pelo gás no processo
d) A quantidade de calor recebida pelo gás durante a transformação

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal com as seguintes informações iniciais e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
n=5,\quad V_{1}=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}},\quad P_{1}=2\times10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}},\quad V_{2}=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}}
Perguntas (o que é pedido):
a) Determinar a temperatura do gás durante a transformação.
b) Determinar a pressão final P_{2}.
c) Determinar o trabalho W realizado pelo gás no processo de expansão isotérmica.
d) Determinar a quantidade de calor Q recebida pelo gás durante a transformação.

Passo 2

Relembrando uma fórmula essencial (explicação didática): a equação dos gases ideais relaciona pressão, volume, temperatura, número de mols e a constante dos gases:
PV=nRT.
Aqui P é a pressão (unidade Pa), V é o volume (m³), n é o número de mols, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta em Kelvin. A constante vale aproximadamente
R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Na transformação isotérmica a temperatura T é constante, então podemos usar P_{1}V_{1}=nRT para encontrar T.

Passo 3

Cálculo da temperatura (substituindo os valores na equação dos gases ideais). Usamos
T=\frac{P_{1}V_{1}}{nR}.
Substituindo P_{1}=2\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V_{1}=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}}, n=5 e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
T=\frac{2\times10^{5}\times0{,}1}{5\times8{,}314}=\frac{2\times10^{4}}{41{,}57}\approx481{,}1\\ \mathrm{K}.
Explicando a conta: P_{1}V_{1}=2\times10^{5}\cdot0{,}1=2\times10^{4}\\ \mathrm{J} (note que P\cdot V tem unidades de energia), e 5\cdot8{,}314=41{,}57. Dividindo obtemos T\approx481{,}1\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo da pressão final P_{2}. Num processo isotérmico para gás ideal vale P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2} (já que nRT é constante). Portanto:
P_{2}=\frac{P_{1}V_{1}}{V_{2}}.
Substituindo P_{1}=2\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V_{1}=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}} e V_{2}=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}}:
P_{2}=2\times10^{5}\times\frac{0{,}1}{0{,}2}=2\times10^{5}\times\frac{1}{2}=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: ao dobrar o volume isotermicamente, a pressão cai pela metade.

Passo 5

Derivação da expressão do trabalho realizado em uma transformação isotérmica (aula curta): o trabalho realizado pelo gás ao expandir de V_{1} a V_{2} é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV.
Para um gás ideal em processo isotérmico P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo na integral:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{nRT}{V}\,dV=nRT\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{1}{V}\,dV=nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Aqui \ln é o logaritmo natural. Explicando variáveis: n é número de mols, R a constante dos gases, T a temperatura absoluta (constante no processo) e V_{1},V_{2} volumes inicial e final.

Passo 6

Cálculo numérico do trabalho usando uma forma prática: como nRT=P_{1}V_{1} (valor já calculado antes), podemos usar
W=P_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Sabendo que \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{0{,}2}{0{,}1}=2 e \ln 2\approx0{,}693147, e P_{1}V_{1}=2\times10^{5}\times0{,}1=2\times10^{4}\\ \mathrm{J}, temos:
W=2\times10^{4}\times\ln 2\approx2\times10^{4}\times0{,}693147\approx13862{,}9\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente: W\approx1{,}386\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Quantidade de calor recebida Q: aplicação da primeira lei da termodinâmica (explicação didática): a primeira lei diz
\Delta U=Q-W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do gás (positiva se aumenta), Q o calor fornecido ao sistema (positivo se entra) e W o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho). Para um gás ideal mono ou poliatómico, a energia interna depende apenas da temperatura. Como o processo é isotérmico ( T constante), tem-se
\Delta U=0.
Logo 0=Q-W, ou seja
Q=W.
Portanto o calor recebido pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás. Assim
Q\approx13862{,}9\\ \mathrm{J}\\ (\text{ou }1{,}386\times10^{4}\\ \mathrm{J}).

Passo 8

Resumo numérico final (valores com arredondamento razoável):
  • Temperatura: T\approx481{,}1\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final: P_{2}=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Trabalho realizado pelo gás: W\approx1{,}386\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
  • Calor recebido pelo gás: Q\approx1{,}386\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) T\approx481{,}1\\ \mathrm{K}
b) P_{2}=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
c) W\approx1{,}386\times10^{4}\\ \mathrm{J}
d) Q\approx1{,}386\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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