Tem-se 5 mols de moléculas de um gás ideal ocupando inicialmente o volume de
exercendo pressão de
. A partir desse estado, o gás se expande isotermicamente, até ocupar o volume de
. Determine:
a) A temperatura em que ocorre a transformação
b) A pressão final do gás
c) O trabalho realizado pelo gás no processo
d) A quantidade de calor recebida pelo gás durante a transformação
a) A temperatura em que ocorre a transformação
b) A pressão final do gás
c) O trabalho realizado pelo gás no processo
d) A quantidade de calor recebida pelo gás durante a transformação
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal com as seguintes informações iniciais e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
Perguntas (o que é pedido):
a) Determinar a temperatura do gás durante a transformação.
b) Determinar a pressão final .
c) Determinar o trabalho realizado pelo gás no processo de expansão isotérmica.
d) Determinar a quantidade de calor recebida pelo gás durante a transformação.
a) Determinar a temperatura do gás durante a transformação.
b) Determinar a pressão final
c) Determinar o trabalho
d) Determinar a quantidade de calor
Passo 2
Relembrando uma fórmula essencial (explicação didática): a equação dos gases ideais relaciona pressão, volume, temperatura, número de mols e a constante dos gases:
Aqui
é a pressão (unidade Pa),
é o volume (m³),
é o número de mols,
é a constante universal dos gases e
é a temperatura absoluta em Kelvin. A constante vale aproximadamente
Na transformação isotérmica a temperatura
é constante, então podemos usar
para encontrar
.
Passo 3
Cálculo da temperatura (substituindo os valores na equação dos gases ideais). Usamos
Substituindo
,
,
e
:
Explicando a conta:
(note que
tem unidades de energia), e
. Dividindo obtemos
.
Passo 4
Cálculo da pressão final
. Num processo isotérmico para gás ideal vale
(já que
é constante). Portanto:
Substituindo
,
e
:
Interpretação: ao dobrar o volume isotermicamente, a pressão cai pela metade.
Passo 5
Derivação da expressão do trabalho realizado em uma transformação isotérmica (aula curta): o trabalho realizado pelo gás ao expandir de
a
é
Para um gás ideal em processo isotérmico
. Substituindo na integral:
Aqui
é o logaritmo natural. Explicando variáveis:
é número de mols,
a constante dos gases,
a temperatura absoluta (constante no processo) e
volumes inicial e final.
Passo 6
Cálculo numérico do trabalho usando uma forma prática: como
(valor já calculado antes), podemos usar
Sabendo que
e
, e
, temos:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 7
Quantidade de calor recebida
: aplicação da primeira lei da termodinâmica (explicação didática): a primeira lei diz
onde
é a variação da energia interna do gás (positiva se aumenta),
o calor fornecido ao sistema (positivo se entra) e
o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho). Para um gás ideal mono ou poliatómico, a energia interna depende apenas da temperatura. Como o processo é isotérmico (
constante), tem-se
Logo
, ou seja
Portanto o calor recebido pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás. Assim
Passo 8
Resumo numérico final (valores com arredondamento razoável):
- Temperatura:
. - Pressão final:
. - Trabalho realizado pelo gás:
. - Calor recebido pelo gás:
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)