Um frasco de vidro foi graduado em \mathrm{cm}^{3} a 20^{\circ} \mathrm{C}. Coloca-se dentro do frasco um líquido a 20^{\circ} \mathrm{C} até atingir a marca de 400 \mathrm{~cm}^{3}. Quando o conjunto é aquecido até 120^{\circ} \mathrm{C}, observa-se que o líquido atinge a marca de 408 \mathrm{~cm}^{3}. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do vidro é 9 \times 10^{-6} \mathrm{C}^{-1}, calcule o coeficiente de dilatação cúbica real do líquido e o volume real do líquido a 120^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • O frasco foi graduado em \mathrm{cm}^{3} a 20^\circ\mathrm{C}.
    • Volume inicial do líquido a 20^\circ\mathrm{C}: \;V_0 = 400\\ \mathrm{cm}^3.
    • Ao aquecer o conjunto até 120^\circ\mathrm{C}, a leitura da graduação passa a ser \;V_{\text{ap}} = 408\\ \mathrm{cm}^3 (isto é, o volume aparente medido pela marca).
    • Coeficiente de dilatação linear do vidro: \;\alpha_g = 9\times10^{-6}\\ \mathrm{C}^{-1}.
  • O que é pedido:
    1. Calcular o coeficiente de dilatação cúbica (volumétrica) real do líquido, \beta_{\ell}.
    2. Calcular o volume real do líquido a 120^\circ\mathrm{C}, isto é V_{\ell}(120^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Conceitos essenciais (aula rápida e prática):
  • Dilatação linear e cúbica:
    • O coeficiente de dilatação linear \alpha mede quanto um comprimento cresce por grau de temperatura.
    • Para um sólido isotrópico pequeno, a dilatação cúbica (volumétrica) aproximada é \beta \approx 3\alpha. Isso vem da expansão independente em cada uma das três direções; para pequenas variações, os termos de ordem superior são desprezíveis.
    • Aqui o vidro é um sólido, então usaremos \beta_{\text{vidro}} = 3\alpha_g.
  • Volume real versus volume aparente numa graduação:
    • Se o volume real do líquido a uma nova temperatura é \;V_{\ell,\text{real}} = V_0(1+\beta_{\ell}\Delta T),
    • e o volume correspondente da cavidade graduada (as marcas) cresce por um fator (1+\beta_{\text{vidro}}\Delta T),
    • então a leitura aparente na graduação é a razão entre o volume real e o fator de expansão da cavidade: V_{\text{ap}} = \frac{V_{\ell,\text{real}}}{1+\beta_{\text{vidro}}\Delta T}.
    • Esta é a equação que relaciona o que se vê na marca (apparent volume) com o real.

Passo 3

Calcule a dilatação volumétrica do vidro (container):
  • Usamos a relação \beta_{\text{vidro}} = 3\alpha_g.
  • Substituindo \alpha_g = 9\times10^{-6}\\ \mathrm{C}^{-1}: \beta_{\text{vidro}} = 3\cdot 9\times10^{-6} = 27\times10^{-6}\\ \mathrm{C}^{-1} = 2,7\times10^{-5}\\ \mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Escrevendo a equação que liga leitura aparente à dilatação do líquido e do frasco e isolando \beta_{\ell}:
  • Diferença de temperatura: \Delta T = 120^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 100^\circ\mathrm{C}.
  • Equação do Passo 2: V_{\text{ap}} = \frac{V_0(1+\beta_{\ell}\Delta T)}{1+\beta_{\text{vidro}}\Delta T}.
  • Substituindo V_{\text{ap}}=408\\ \mathrm{cm}^3, V_0=400\\ \mathrm{cm}^3 e \Delta T=100^\circ\mathrm{C}: \frac{408}{400} = \frac{1+\beta_{\ell}\cdot100}{1+\beta_{\text{vidro}}\cdot100}.
  • Calcule o denominador usando \beta_{\text{vidro}}=2,7\times10^{-5}\\ \mathrm{C}^{-1}: 1+\beta_{\text{vidro}}\cdot100 = 1 + (2,7\times10^{-5})\cdot100 = 1 + 0,0027 = 1,0027.
  • Então: 1,02 = \frac{1+\beta_{\ell}\cdot100}{1,0027}.
  • Multiplicando ambos os lados por 1,0027: 1+\beta_{\ell}\cdot100 = 1,02 \cdot 1,0027 = 1,022754.
  • Isolando \beta_{\ell}: \beta_{\ell} = \frac{1,022754 - 1}{100} = \frac{0,022754}{100} = 0,00022754\\ \mathrm{C}^{-1}.
  • Em notação científica e com arredondamento razoável (3 algarismos significativos): \beta_{\ell} \approx 2,28\times10^{-4}\\ \mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Calcule o volume real do líquido a 120^\circ\mathrm{C}:
  • Fórmula do volume real: V_{\ell,\text{real}} = V_0(1+\beta_{\ell}\Delta T).
  • Usando \beta_{\ell}=0,00022754 (valor não arredondado para maior precisão) e \Delta T=100^\circ\mathrm{C}: V_{\ell,\text{real}} = 400\cdot(1 + 0,00022754\cdot100) = 400\cdot 1,022754 = 409,1016\\ \mathrm{cm}^3.
  • Arredondando para duas casas decimais (suficiente para volumes práticos): V_{\ell,\text{real}} \approx 409,10\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Comentário final curto e encorajador:
  • O que aconteceu intuitivamente: o líquido expandiu mais que o vidro, por isso a leitura subiu de 400 para 408\\ \mathrm{cm}^3, mas o volume real do líquido é um pouco maior que a leitura aparente corrigida pela expansão do frasco.
  • Você fez certinho: aplicou a relação entre volume real e leitura aparente e usou \beta_{\text{vidro}}=3\alpha_g. Tá indo bem — respira fundo e vamos pra próxima!

Resposta

\beta_{\ell} \approx 2,28\times10^{-4}\\ \mathrm{C}^{-1}
V_{\ell}(120^\circ\mathrm{C}) \approx 409,10\\ \mathrm{cm}^3

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