Questão 5: Que massa de vapor d’agua a 100^{\circ} \mathrm{C} precisa ser misturada a 2 kg de gelo, à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} em um vaso termicamente isolado, para que o líquido resultante tenha a temperatura de 45^{\circ} \mathrm{C} ? Dados:
\underset{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}{L_{\text {fusão }}}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, \mathrm{cgelo}=0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, \underset{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}{L_{\text {vap }}}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, \mathrm{c}_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}ã

Passo 1

O enunciado pede: determinar a massa de vapor d’água a 100^\circ\mathrm{C} que deve ser misturada a 2\\ \mathrm{kg} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} num vaso isolado, de modo que a mistura final fique a 45^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos (todos em unidades compatíveis com calorias e gramas):
L_{\text{fusão}}(\mathrm{H_2O}) = 80\\ \mathrm{cal/g}ã
c_{\text{gelo}} = 0{,}5\\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)}
L_{\text{vap}}(\mathrm{H_2O}) = 540\\ \mathrm{cal/g}
c_{\mathrm{H_2O}} = 1{,}0\\ \mathrm{cal/(g\cdot^\circ C)}
Massa de gelo: \,2\\ \mathrm{kg}=2000\\ \mathrm{g}.
Massa de vapor a determinar: chamo de m (em gramas).
A pergunta é: qual é m?

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática): o sistema é termicamente isolado, portanto a energia interna total é conservada. O vapor em 100^\circ\mathrm{C} vai ceder calor ao gelo, e todo calor cedido pelo vapor será absorvido pelo gelo e pela água resultante até atingir 45^\circ\mathrm{C}. Em termos práticos:
  • Calor cedido pelo vapor = calor absorvido pelo gelo + calor absorvido pela água resultante.
    Formas de calcular calor:
  • Calor latente (mudança de fase) para massa \,m: \,Q_{\text{lat}} = m \cdot L, onde L é a entalpia específica (cal/g).
  • Calor sensível (mudança de temperatura) para massa \,m: \,Q_{\text{sens}} = m \cdot c \cdot \Delta T, onde c é calor específico (cal/g·°C) e \Delta T é variação de temperatura em °C.
    Exemplo rápido: aquecer 1\\ \mathrm{g} de água líquida de 20^\circ\mathrm{C} para 21^\circ\mathrm{C} consome \,1\cdot 1{,}0 \cdot 1 = 1\\ \mathrm{cal}.

Passo 3

Identificar os termos de calor cedido pelo vapor (por grama de vapor m):
  1. Condensação do vapor a 100^\circ\mathrm{C} para água líquida a 100^\circ\mathrm{C}: \,Q_1 = m \cdot L_{\text{vap}}.
  2. Resfriamento da água condensada de 100^\circ\mathrm{C} a 45^\circ\mathrm{C}: \,Q_2 = m \cdot c_{\mathrm{H_2O}} \cdot (100-45).
    Portanto o calor total cedido pelo vapor é
Q_{\text{cedido}} = Q_1 + Q_2 = m\cdot L_{\text{vap}} + m\cdot c_{\mathrm{H_2O}}\cdot(100-45).

Passo 4

Identificar os termos de calor absorvido pelo gelo (massa fixa m_{\text{gelo}}=2000\\ \mathrm{g}):
  1. Fusão do gelo a 0^\circ\mathrm{C}: \,Q_3 = m_{\text{gelo}} \cdot L_{\text{fusão}}ã.
  2. Aquecimento da água resultante (após fusão) de 0^\circ\mathrm{C} a 45^\circ\mathrm{C}: \,Q_4 = m_{\text{gelo}} \cdot c_{\mathrm{H_2O}} \cdot (45-0).
    Observação importante (por que não usamos c_{\text{gelo}}): o gelo começa a 0^\circ\mathrm{C}; para que ele aumente de temperatura no estado sólido antes de fundir seria preciso temperatura > 0^\circ\mathrm{C}. Aqui a primeira etapa é fusão a 0^\circ\mathrm{C}, portanto não há aquecimento do gelo sólido — usa-se apenas o calor de fusão. Assim
Q_{\text{absorvido}} = Q_3 + Q_4 = m_{\text{gelo}}\cdot L_{\text{fusão}} + m_{\text{gelo}}\cdot c_{\mathrm{H_2O}}\cdot 45.ã

Passo 5

Escrever o balanço de energia (calor cedido = calor absorvido) e substituir os valores numéricos:
m\cdot L_{\text{vap}} + m\cdot c_{\mathrm{H_2O}}\cdot(100-45) = m_{\text{gelo}}\cdot L_{\text{fusão}} + m_{\text{gelo}}\cdot c_{\mathrm{H_2O}}\cdot 45.ã
Substituindo L_{\text{vap}}=540, L_{\text{fusão}}=80ã, c_{\mathrm{H_2O}}=1{,}0, m_{\text{gelo}}=2000:
m\cdot\bigl(540 + 1{,}0\cdot 55\bigr) = 2000\cdot\bigl(80 + 1{,}0\cdot 45\bigr).
Calcular os parênteses:
540 + 55 = 595,
80 + 45 = 125.
Então
m\cdot 595 = 2000\cdot 125 = 250000.

Passo 6

Resolver para m:
m = \dfrac{250000}{595}.
Fazendo a divisão:
m \approx 420{,}168067\\ \mathrm{g}.
Arredondando de modo apropriado (duas ou três casas significativas, compatível com dados): tomamos m \approx 420{,}17\\ \mathrm{g}, que é igual a 0{,}42017\\ \mathrm{kg}. Para simplificar, podemos informar m \approx 420\\ \mathrm{g} ou m \approx 0{,}420\\ \mathrm{kg}. Vou apresentar com três algarismos significativos.

Resposta

m \approx 0{,}420\\ \mathrm{kg} (ou 420\\ \mathrm{g})

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