Tem-se uma população normal com média
e variância 225. Deseja-se construir, a partir de uma amostra de tamanho
desta população, um intervalo de confiança para
com amplitude 5 e confiança de
. Qual é o valor de
? (Use como aproximadamente 2 o quantil de ordem
da distribuição normal padrão e considere a população infinita).
Passo 1
O enunciado pede que encontremos o tamanho de amostra
necessário para construir um intervalo de confiança para a média
de uma população normal com variância conhecida igual a
, de modo que o intervalo tenha amplitude
e nível de confiança
. Informações relevantes fornecidas:
- Variância da população:
. - Portanto, desvio padrão:
. - Nível de confiança:
. - Quantil dado: o quantil de ordem
da normal padrão é aproximadamente . Isto corresponde a . - Amplitude do intervalo (comprimento total) desejada:
.
Passo 2
Entendendo o intervalo de confiança para
quando
é conhecida: para amostra de tamanho
retirada de população normal com desvio padrão
, o intervalo de confiança central de nível
para
é
Aqui
é a média amostral,
é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é
, e
é o desvio padrão da média amostral. Essa fórmula vem da propriedade de que
é
.
Passo 3
Definindo a amplitude e a metade da amplitude (erro máximo permitido): o intervalo
tem metade da amplitude (margem de erro) igual a
Como a amplitude total desejada é
, temos
, ou seja
Passo 4
Agora isolamos
na expressão de
. Igualando
à expressão com
,
Resolvendo para
obtemos
Passo 5
Substituímos os valores numéricos:
(dado),
. Assim
Calcule passo a passo:
porque
. Então
e finalmente
Passo 6
Interpretação e arredondamento:
é inteiro e atende exatamente à condição pedida (meia-amplitude
e amplitude total
) quando usamos
. Se o cálculo resultasse em não inteiro, deveríamos arredondar para cima (tomar o teto) para garantir que a amplitude do intervalo não exceda
.
Resposta
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