Tem-se uma população normal com média \mu e variância 225. Deseja-se construir, a partir de uma amostra de tamanho n desta população, um intervalo de confiança para \mu com amplitude 5 e confiança de 95 \%. Qual é o valor de n ? (Use como aproximadamente 2 o quantil de ordem 97,5 \% da distribuição normal padrão e considere a população infinita).

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o tamanho de amostra n necessário para construir um intervalo de confiança para a média \mu de uma população normal com variância conhecida igual a 225, de modo que o intervalo tenha amplitude 5 e nível de confiança 95\%. Informações relevantes fornecidas:
  • Variância da população: \sigma^2 = 225.
  • Portanto, desvio padrão: \sigma = 15.
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Quantil dado: o quantil de ordem 97{,}5\% da normal padrão é aproximadamente 2. Isto corresponde a z_{0{,}975}\approx 2.
  • Amplitude do intervalo (comprimento total) desejada: 5.

Passo 2

Entendendo o intervalo de confiança para \mu quando \sigma é conhecida: para amostra de tamanho n retirada de população normal com desvio padrão \sigma, o intervalo de confiança central de nível 1-\alpha para \mu é
\bar{X}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui \bar{X} é a média amostral, z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2, e \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o desvio padrão da média amostral. Essa fórmula vem da propriedade de que \displaystyle \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} é \mathcal{N}(0,1).

Passo 3

Definindo a amplitude e a metade da amplitude (erro máximo permitido): o intervalo \bar{X}\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} tem metade da amplitude (margem de erro) igual a
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Como a amplitude total desejada é 5, temos 2E = 5, ou seja
E = \frac{5}{2}=2{,}5.

Passo 4

Agora isolamos n na expressão de E. Igualando E à expressão com n,
2{,}5 = z_{0{,}975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Resolvendo para n obtemos
\sqrt{n} = z_{0{,}975}\,\frac{\sigma}{2{,}5} \quad\Rightarrow\quad n = \left(z_{0{,}975}\,\frac{\sigma}{2{,}5}\right)^{2}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos: z_{0{,}975}\approx 2 (dado), \sigma=15. Assim
n = \left(2\cdot\frac{15}{2{,}5}\right)^{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{15}{2{,}5} = \frac{15}{2{,}5} = 6,
porque 2{,}5\times 6=15. Então
2\cdot 6 = 12,
e finalmente
n = 12^{2} = 144.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: n=144 é inteiro e atende exatamente à condição pedida (meia-amplitude 2{,}5 e amplitude total 5) quando usamos z_{0{,}975}=2. Se o cálculo resultasse em não inteiro, deveríamos arredondar para cima (tomar o teto) para garantir que a amplitude do intervalo não exceda 5.

Resposta

144

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