Questão 1 - (Valor: 1,5) O número de bolhas de ar encontradas em chapas de vidro produzidas por uma indústria segue uma distribuiçāo de Poisson com média de 0,08 bolha por pé
. Considere que cada chapa de vidro possui 12 pés
de área. a) Qual é a probabilidade de uma chapa nāo apresentar nenhuma bolha de ar? b) Se forem analisadas 8 chapas, qual é a probabilidade de que todas estejam sem bolhas? c) Qual é a probabilidade de que no máximo uma chapa apresente bolhas?
Passo 1
O enunciado (peguei os dados da imagem) dá as seguintes informações e perguntas:
- Taxa média de bolhas por área:
bolha por pé . - Cada chapa tem área
pés . - Número de chapas no item (b) e (c):
chapas.
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de uma chapa não apresentar nenhuma bolha de ar?
b) Se forem analisadaschapas, qual a probabilidade de que todas estejam sem bolhas?
c) Qual a probabilidade de que no máximo uma chapa (entre as) apresente bolhas?
Passo 2
Calcular a média esperada de bolhas por chapa (parâmetro
da Poisson).
- A taxa dada é por unidade de área, então multiplicamos pela área da chapa:
- Calculando:
Explicação didática: quando eventos (bolhas) ocorrem com uma taxa constante por unidade de área e são raros/independentes, o número em uma área fixa segue Poisson com parâmetro
igual à taxa por unidade vezes a área. Aqui
é a média (e também a variância) das bolhas por chapa.
Passo 3
Recordando a fórmula da distribuição de Poisson:
onde:
-
é o número de bolhas numa chapa, -
é o número de ocorrências (0,1,2,…), -
é a média (explicada no passo anterior), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Agora resolvemos o item (a): probabilidade de uma chapa não apresentar nenhuma bolha, isto é
.
Substituindo
:
Cálculo numérico (aproximação):
Interpretação: cerca de
das chapas não terão bolhas.
Passo 4
Resolver o item (b): probabilidade de que, das
chapas analisadas, todas estejam sem bolhas.
- Assumimos independência entre chapas (cada chapa é um experimento Poisson independente).
- Probabilidade de uma chapa sem bolhas é
. - Então probabilidade de todas as
sem bolhas é .
Escrevendo:
Cálculo numérico:
Interpretação: muito pequena (cerca de
).
Passo 5
Resolver o item (c): probabilidade de que no máximo uma chapa (entre as
) apresente bolhas.
- Primeiro definimos a variável que vamos usar: seja
o número de chapas, entre as , que apresentam pelo menos uma bolha. - Para cada chapa:
- Probabilidade de NÃO ter bolha =
. - Probabilidade de TER pelo menos uma bolha =
.
- Probabilidade de NÃO ter bolha =
- Como as chapas são independentes,
segue uma distribuição Binomial com parâmetros e :
- Queremos
.
Usando a fórmula da binomial:
Somando:
Passo 6
Cálculo numérico detalhado do item (c):
- Já temos
. - Então
. - Calculamos
. - Calculamos
. - Agora
- Somando
Arredondando razoavelmente:
Interpretação: há cerca de
de chance de que no máximo uma das
chapas apresente bolhas.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)