Questão 1 - (Valor: 1,5) O número de bolhas de ar encontradas em chapas de vidro produzidas por uma indústria segue uma distribuiçāo de Poisson com média de 0,08 bolha por pé { }^{2}. Considere que cada chapa de vidro possui 12 pés { }^{2} de área. a) Qual é a probabilidade de uma chapa nāo apresentar nenhuma bolha de ar? b) Se forem analisadas 8 chapas, qual é a probabilidade de que todas estejam sem bolhas? c) Qual é a probabilidade de que no máximo uma chapa apresente bolhas?

Passo 1

O enunciado (peguei os dados da imagem) dá as seguintes informações e perguntas:
  • Taxa média de bolhas por área: \,0,08 bolha por pé ^2.
  • Cada chapa tem área 12 pés ^2.
  • Número de chapas no item (b) e (c): 8 chapas.
    As perguntas são:
    a) Qual a probabilidade de uma chapa não apresentar nenhuma bolha de ar?
    b) Se forem analisadas 8 chapas, qual a probabilidade de que todas estejam sem bolhas?
    c) Qual a probabilidade de que no máximo uma chapa (entre as 8) apresente bolhas?

Passo 2

Calcular a média esperada de bolhas por chapa (parâmetro \lambda da Poisson).
  • A taxa dada é por unidade de área, então multiplicamos pela área da chapa:
\lambda = 0,08 \times 12.
  • Calculando:
\lambda = 0,96.
Explicação didática: quando eventos (bolhas) ocorrem com uma taxa constante por unidade de área e são raros/independentes, o número em uma área fixa segue Poisson com parâmetro \lambda igual à taxa por unidade vezes a área. Aqui \lambda é a média (e também a variância) das bolhas por chapa.

Passo 3

Recordando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(N=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • N é o número de bolhas numa chapa,
  • k é o número de ocorrências (0,1,2,…),
  • \lambda é a média (explicada no passo anterior),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
Agora resolvemos o item (a): probabilidade de uma chapa não apresentar nenhuma bolha, isto é k=0.
P(N=0)=\frac{\lambda^{0} e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}.
Substituindo \lambda=0,96:
P(N=0)=e^{-0,96}.
Cálculo numérico (aproximação):
e^{-0,96}\approx 0,3829.
Interpretação: cerca de 38{,}29\% das chapas não terão bolhas.

Passo 4

Resolver o item (b): probabilidade de que, das 8 chapas analisadas, todas estejam sem bolhas.
  • Assumimos independência entre chapas (cada chapa é um experimento Poisson independente).
  • Probabilidade de uma chapa sem bolhas é p_0=e^{-0,96}.
  • Então probabilidade de todas as 8 sem bolhas é (p_0)^8.
Escrevendo:
P(\text{todas as 8 sem bolhas})=(e^{-0,96})^{8}=e^{-0,96\times 8}=e^{-7,68}.
Cálculo numérico:
e^{-7,68}\approx 4,61\times 10^{-4}.
Interpretação: muito pequena (cerca de 0{,}046\%).

Passo 5

Resolver o item (c): probabilidade de que no máximo uma chapa (entre as 8) apresente bolhas.
  • Primeiro definimos a variável que vamos usar: seja X o número de chapas, entre as 8, que apresentam pelo menos uma bolha.
  • Para cada chapa:
    • Probabilidade de NÃO ter bolha = p_0=e^{-0,96}.
    • Probabilidade de TER pelo menos uma bolha = p=1-p_0=1-e^{-0,96}.
  • Como as chapas são independentes, X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n=8 e p=1-e^{-0,96}:
X\sim \text{Binomial}(n=8,p=1-e^{-0,96}).
  • Queremos P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1).
Usando a fórmula da binomial:
P(X=0)=(1-p)^{8}=p_{0}^{8}=e^{-0,96\times 8}=e^{-7,68},
P(X=1)=\binom{8}{1}p(1-p)^{7}=8\,(1-e^{-0,96})\,e^{-0,96\times 7}.
Somando:
P(X\le 1)=e^{-7,68}+8\,(1-e^{-0,96})\,e^{-6,72}.

Passo 6

Cálculo numérico detalhado do item (c):
  • Já temos e^{-0,96}\approx 0,3829.
  • Então p=1-e^{-0,96}\approx 0,6171.
  • Calculamos P(X=0)=e^{-7,68}\approx 4,61\times 10^{-4}.
  • Calculamos e^{-6,72}=e^{-7,68}\,e^{0,96}\approx 0,0004611\times 2,6114\approx 0,001204.
  • Agora
P(X=1)=8\times 0,6171\times 0,001204\approx 0,005944.
  • Somando
P(X\le1)\approx 0,0004611+0,005944\approx 0,006405.
Arredondando razoavelmente:
P(X\le1)\approx 6,41\times 10^{-3}.
Interpretação: há cerca de 0{,}64\% de chance de que no máximo uma das 8 chapas apresente bolhas.

Resposta

a) 0,3829
b) 4,61\times10^{-4}
c) 6,41\times10^{-3}

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