Sendo X : N(50,16), determinar X \alpha, tal que:
P(X \leq X \alpha)=0,99

Passo 1

O enunciado dá que X é uma v.a. normalmente distribuída com média e variância conhecidas: X \sim N(50,16).
O problema pede: determinar X_\alpha tal que P(X \leq X_\alpha)=0,99.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mu=50 (média), \sigma^2=16 (variância) e portanto \sigma=4 (desvio-padrão).
A quantidade pedida é o quantil de ordem 0,99 da distribuição de X — isto é, o valor que deixa 99\% da massa à esquerda.

Passo 2

Conceito importante (explicando devagar): o quantil de ordem p de uma v.a. contínua X é o número x_p tal que P(X\le x_p)=p. No nosso caso p=0,99, então queremos o 99\%-quantil.
Esse conceito serve para dizer “qual é o valor de X que consigo com probabilidade p ou menos”. É exatamente o que a prova costuma pedir: transformar uma probabilidade em um valor.

Passo 3

Ferramenta principal: padronização para a Normal. Se X\sim N(\mu,\sigma^2), então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem distribuição N(0,1) (média 0 e variância 1). Aqui, cada símbolo significa: \mu é a média de X, \sigma é o desvio-padrão de X, e Z é a versão “sem unidades” de X — isso permite usar tabelas ou funções da Normal standard.

Passo 4

Aplicando a padronização ao evento pedido: seja x_\alpha o quantil buscado. Temos
P(X\le x_\alpha)=0,99.
Substituindo X=\mu+\sigma Z (ou padronizando diretamente),
P\!\left(Z \le \frac{x_\alpha-\mu}{\sigma}\right)=0,99.
Então o número \dfrac{x_\alpha-\mu}{\sigma} é o quantil da Normal padrão correspondente à probabilidade 0,99. Denotamos esse quantil por z_{0,99}, isto é,
\frac{x_\alpha-\mu}{\sigma}=z_{0,99}.

Passo 5

Como achar z_{0,99}: usar tabela da Normal padrão (ou função inversa do cdf no calc.), procurando o valor z tal que P(Z\le z)=0,99. Em tabelas usuais encontramos aproximadamente
z_{0,99}\approx 2,3263.
(Se a sua tabela der 2,33, tudo bem — é arredondamento; 2,3263 é um valor mais preciso.)

Passo 6

Agora resolver para x_\alpha. Da relação \dfrac{x_\alpha-\mu}{\sigma}=z_{0,99} vem
x_\alpha=\mu+\sigma z_{0,99}.
Substituindo \mu=50, \sigma=4 e z_{0,99}=2,3263:
x_\alpha = 50 + 4\cdot 2,3263.

Passo 7

Fazendo as contas passo a passo (sem pular nada):
Calcule 4\cdot 2,3263:
4\cdot 2,3263 = 9,3052.
Some com 50:
50 + 9,3052 = 59,3052.
Arredondando de forma usual para duas casas decimais (útil na prova),
x_\alpha \approx 59,31.

Passo 8

Verificação rápida para ganhar confiança: padronize o resultado encontrado:
\frac{59,3052-50}{4} = \frac{9,3052}{4}=2,3263,
e sabemos que P(Z\le 2,3263)\approx 0,99. Ou seja, bate certinho — missão cumprida!

Resposta

\;X_\alpha \approx 59,31

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