Tem-se um reservatório de água elevado com uma altura de 15 m , alimentando um reservatorio “enterrado”, através de um sistema de tubulação de aço galvanizado de \mathrm{D}_{\mathrm{N}}=1,5 in (diâmetro nominal) e 120 m de comprimento. Calcule a vazão que pode ser drenada por essa tubulação. Assuma o escoamento como incompressível, com massa especifica de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade dinâmica de 1,00 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa}.s

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedem a vazão que pode ser drenada pela tubulação (ou seja, o volume de água por unidade de tempo que passa pela tubulação).
  • Dados fornecidos:
    • Altura geométrica entre reservatórios (carga disponível): H=15\\ \mathrm{m}.
    • Tubulação de aço galvanizado, comprimento L=120\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro nominal: \mathrm{D_N}=1{,}5\\ \mathrm{in}.
    • Massa específica da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Observações que vou assumir para poder calcular (não foram fornecidas no enunciado):
  • Vou tomar o diâmetro interno igual ao diâmetro nominal: D=1{,}5\\ \mathrm{in}=1{,}5\times25{,}4\\ \mathrm{mm}=38{,}10\\ \mathrm{mm}=0{,}03810\\ \mathrm{m}.
  • Vou desprezar perdas por acessórios (válvulas, curvas, entradas/saídas) e considerar apenas perda distribuída por atrito ao longo do trecho retilíneo.
  • Vou usar como rugosidade absoluta para aço galvanizado \varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (valor típico de tabelas). Se a rugosidade real for outra, a vazão muda.

Passo 2

Modelo físico e equação principal (explicação didática).
  • A água escoa do reservatório superior para o inferior sob a ação da diferença de carga potencial H. Essa carga é perdida por atrito no tubo; no regime permanente e desprezando variações de energia por velocidade entre reservatórios, a carga disponível é consumida pela perda de carga por atrito h_f:
H = h_f.
  • A perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do tubo ( \mathrm{m}),
  • D é o diâmetro interno ( \mathrm{m}),
  • V é a velocidade média do fluido no tubo ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Vamos ligar vazão volumétrica Q com velocidade pela área da seção:
Q = A\,V,\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • O fator de atrito f depende do regime de escoamento e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Primeiro determina-se o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}.
Se \mathrm{Re}\lesssim2300 o escoamento é laminar e f=64/\mathrm{Re}. Aqui, por hipótese de dimensões e H, esperamos escoamento turbulento ( \mathrm{Re}\gg2300). Para turbulento a relação entre f,\\ \mathrm{Re} e \varepsilon/D é implícita (Colebrook). Vou usar a fórmula aproximada explícita de Haaland (boa precisão prática):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}\right].
Essa equação permite obter f a partir de \mathrm{Re} e \varepsilon/D.
  • Como f depende de V via \mathrm{Re} e V depende de f pela equação de energia, vamos resolver por iteração (método prático em prova): chutar um f, obter V por H=f(L/D)\,V^2/(2g), calcular \mathrm{Re}, atualizar f via Haaland, repetir até convergir.

Passo 3

Cálculos preliminares (área, razão L/D, rugosidade relativa, constantes).
  • Diâmetro:
D = 0{,}03810\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}03810)^2}{4}\approx 1{,}1395\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Razão comprimento/diâmetro:
\frac{L}{D}=\frac{120}{0{,}03810}\approx 3151{,}4.
  • Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}03810}\approx 0{,}003938.
  • Constantes: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, H=15\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Primeira iteração: chute inicial para f e cálculo de V, \mathrm{Re} e novo f.
  • Chute inicial: f_0=0{,}02 (valor típico para tubulação).
  • Resolvendo a equação de energia para V:
V = \sqrt{\frac{2gH}{f\,L/D}}.
Substituindo f_0,
V_0=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot15}{0{,}02\cdot3151{,}4}} =\sqrt{\frac{294{,}3}{63{,}0288}}\approx\sqrt{4{,}671}\approx 2{,}161\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds correspondente:
\mathrm{Re}_0=\frac{\rho V_0 D}{\mu}=\frac{1000\cdot2{,}161\cdot0{,}03810}{1{,}00\times10^{-3}}\approx 82\,350.
  • Atualizando f com Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-1{,}8\log_{10}\!\left[\left(\frac{0{,}003938}{3{,}7}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{82\,350}\right].
Cálculo numérico: o termo dentro do log dá aproximadamente 5{,}858\times10^{-4}, logo \dfrac{1}{\sqrt{f}}\approx5{,}818, resultando em
f_1\approx 0{,}02955.

Passo 5

Segunda iteração: recomputar V,\\ \mathrm{Re} com f_1 e atualizar f.
  • Com f_1=0{,}02955:
V_1=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot15}{0{,}02955\cdot3151{,}4}} \approx 1{,}777\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_1:
\mathrm{Re}_1=\frac{1000\cdot1{,}777\cdot0{,}03810}{1{,}00\times10^{-3}}\approx 67\,690.
  • Atualizando f via Haaland com \mathrm{Re}_1
f_2\approx 0{,}02976.

Passo 6

Terceira iteração e convergência (mostrar que já está estabilizado).
  • Com f_2=0{,}02976:
V_2=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot15}{0{,}02976\cdot3151{,}4}}\approx 1{,}771\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_2\approx\frac{1000\cdot1{,}771\cdot0{,}03810}{1{,}00\times10^{-3}}\approx 67\,480. \] - Aplicando Haaland novamente obtém-se \(f_3\approx0{,}02979, mudança muito pequena em relação a f_2. Portanto temos convergência numa velocidade próxima de
V\approx 1{,}77\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 7

Cálculo final da vazão Q e verificação de regime.
  • Vazão volumétrica:
Q = A\,V \approx 1{,}1395\times10^{-3}\cdot1{,}771\approx 2{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Em unidades práticas:
Q\approx 2{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}=2{,}02\\ \mathrm{L/s}.
  • Número de Reynolds final \mathrm{Re}\approx 6{,}75\times10^{4}, ou seja, escoamento turbulento (confirmando a escolha do método turbulento).
  • Observação prática: se forem consideradas perdas locais (entradas, curvas, válvulas) a vazão real será menor; se o diâmetro interno real for diferente do nominal, o resultado muda.

Resposta

Q\approx 2{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} (aproximadamente 2{,}02\\ \mathrm{L/s}).

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