Tem-se um reservatório de água elevado com uma altura de 15 m , alimentando um reservatorio “enterrado”, através de um sistema de tubulação de aço galvanizado de
in (diâmetro nominal) e 120 m de comprimento. Calcule a vazão que pode ser drenada por essa tubulação. Assuma o escoamento como incompressível, com massa especifica de
e viscosidade dinâmica de
.s
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pedem a vazão que pode ser drenada pela tubulação (ou seja, o volume de água por unidade de tempo que passa pela tubulação).
- Dados fornecidos:
- Altura geométrica entre reservatórios (carga disponível):
. - Tubulação de aço galvanizado, comprimento
. - Diâmetro nominal:
. - Massa específica da água:
. - Viscosidade dinâmica:
.
- Altura geométrica entre reservatórios (carga disponível):
Observações que vou assumir para poder calcular (não foram fornecidas no enunciado):
- Vou tomar o diâmetro interno igual ao diâmetro nominal:
. - Vou desprezar perdas por acessórios (válvulas, curvas, entradas/saídas) e considerar apenas perda distribuída por atrito ao longo do trecho retilíneo.
- Vou usar como rugosidade absoluta para aço galvanizado
(valor típico de tabelas). Se a rugosidade real for outra, a vazão muda.
Passo 2
Modelo físico e equação principal (explicação didática).
- A água escoa do reservatório superior para o inferior sob a ação da diferença de carga potencial
. Essa carga é perdida por atrito no tubo; no regime permanente e desprezando variações de energia por velocidade entre reservatórios, a carga disponível é consumida pela perda de carga por atrito :
- A perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento do tubo ( ), -
é o diâmetro interno ( ), -
é a velocidade média do fluido no tubo ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ). -
Vamos ligar vazão volumétrica
com velocidade pela área da seção:
- O fator de atrito
depende do regime de escoamento e da rugosidade relativa . Primeiro determina-se o número de Reynolds:
Se
o escoamento é laminar e
. Aqui, por hipótese de dimensões e
, esperamos escoamento turbulento (
). Para turbulento a relação entre
e
é implícita (Colebrook). Vou usar a fórmula aproximada explícita de Haaland (boa precisão prática):
Essa equação permite obter
a partir de
e
.
- Como
depende de via e depende de pela equação de energia, vamos resolver por iteração (método prático em prova): chutar um , obter por , calcular , atualizar via Haaland, repetir até convergir.
Passo 3
Cálculos preliminares (área, razão
, rugosidade relativa, constantes).
- Diâmetro:
- Área da seção:
- Razão comprimento/diâmetro:
- Rugosidade relativa:
- Constantes:
, , , .
Passo 4
Primeira iteração: chute inicial para
e cálculo de
,
e novo
.
- Chute inicial:
(valor típico para tubulação). - Resolvendo a equação de energia para
:
Substituindo
,
- Número de Reynolds correspondente:
- Atualizando
com Haaland:
Cálculo numérico: o termo dentro do log dá aproximadamente
, logo
, resultando em
Passo 5
Segunda iteração: recomputar
com
e atualizar
.
- Com
:
-
:
- Atualizando
via Haaland com dá
Passo 6
Terceira iteração e convergência (mostrar que já está estabilizado).
- Com
:
-
, mudança muito pequena em relação a
. Portanto temos convergência numa velocidade próxima de
Passo 7
Cálculo final da vazão
e verificação de regime.
- Vazão volumétrica:
- Em unidades práticas:
- Número de Reynolds final
, ou seja, escoamento turbulento (confirmando a escolha do método turbulento). - Observação prática: se forem consideradas perdas locais (entradas, curvas, válvulas) a vazão real será menor; se o diâmetro interno real for diferente do nominal, o resultado muda.