300 g de alumínio a 100^{\circ} \mathrm{C} é misturado com 750 g de água a 15^{\circ} \mathrm{C} com a mistura termicamente isolada
Qual é a temperatura de equilíbrio ?
Qual é a variaçảo de entropia do alumínio ?
Qual é a variaçảo de entropia da água?
Qual é a variação de entropia total do sistema?
Calor especifico do aluminio 900j
Calor especifico da água 4190j

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a mistura térmica isolada de alumínio e água:
  • Qual é a temperatura de equilíbrio.
  • Qual é a variação de entropia do alumínio.
  • Qual é a variação de entropia da água.
  • Qual é a variação de entropia total do sistema.
Informações fornecidas (já convertidas para unidades usuais):
  • Massa do alumínio: m_{\text{Al}}=0,300\\ \text{kg} (peguei do enunciado 300\\ \text{g}).
  • Massa da água: m_{\text{H}_2\text{O}}=0,750\\ \text{kg} (peguei do enunciado 750\\ \text{g}).
  • Temperatura inicial do alumínio: T_{\text{Al},i}=100^\circ\text{C}=373,15\\ \text{K}.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{H}_2\text{O},i}=15^\circ\text{C}=288,15\\ \text{K}.
  • Calor específico do alumínio: c_{\text{Al}}=900\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1} (peguei do enunciado).
  • Calor específico da água: c_{\text{H}_2\text{O}}=4190\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1} (peguei do enunciado).
  • A mistura é termicamente isolada (logo não há troca de calor com o ambiente).

Passo 2

Princípio da conservação de energia (primeira lei, para mistura isolada): o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio. Com calor específico aproximadamente constante, a equação é
m_{\text{Al}} c_{\text{Al}}\bigl(T_{\text{Al},i}-T_f\bigr) = m_{\text{H}_2\text{O}} c_{\text{H}_2\text{O}}\bigl(T_f-T_{\text{H}_2\text{O},i}\bigr),
onde T_f é a temperatura final de equilíbrio em kelvin. Vou usar essa equação para achar T_f.

Passo 3

Substituo os valores numéricos (todos em SI):
  • m_{\text{Al}} c_{\text{Al}} = 0,300\cdot900 = 270\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
  • m_{\text{H}_2\text{O}} c_{\text{H}_2\text{O}} = 0,750\cdot4190 = 3142{,}5\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
    A equação fica
270\bigl(373{,}15 - T_f\bigr) = 3142{,}5\bigl(T_f - 288{,}15\bigr).
Agora resolvo essa equação para T_f.

Passo 4

Resolver algebricamente:
270\cdot373{,}15 - 270\,T_f = 3142{,}5\,T_f - 3142{,}5\cdot288{,}15.
Agrupando os termos com T_f:
270\cdot373{,}15 + 3142{,}5\cdot288{,}15 = (3142{,}5+270)\,T_f.
Calculo os produtos:
270\cdot373{,}15 = 100\,750{,}5\\ \text{J},
3142{,}5\cdot288{,}15 = 905\,511{,}375\\ \text{J}.
Somando:
100\,750{,}5 + 905\,511{,}375 = 1\,006\,261{,}875\\ \text{J}.
O denominador é
3142{,}5+270 = 3412{,}5\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Logo
T_f = \frac{1\,006\,261{,}875}{3412{,}5} \approx 294{,}875\\ \text{K}.
Converto para Celsius:
T_f = 294{,}875\\ \text{K} - 273{,}15 \approx 21{,}73^\circ\text{C}.

Passo 5

Fórmula para a variação de entropia quando o calor específico é aproximadamente constante:
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde:
  • m é a massa (kg),
  • c é o calor específico (J kg^{-1} K^{-1}),
  • T_i é a temperatura inicial em kelvin,
  • T_f é a temperatura final em kelvin,
  • \Delta S tem unidades de J K^{-1}.
Essa fórmula vem de \mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} e para um corpo com c constante, \delta Q_{\text{rev}}=m c\,\mathrm{d}T; integrando de T_i a T_f dá a expressão acima. É muito usada em problemas de mistura térmica quando c varia pouco com a temperatura.

Passo 6

Calculo a variação de entropia do alumínio:
  • m_{\text{Al}} c_{\text{Al}} = 270\\ \text{J}\,\text{K}^{-1} (já calculado).
  • T_{\text{Al},i}=373{,}15\\ \text{K}.
  • T_f=294{,}875\\ \text{K}.
\Delta S_{\text{Al}} = 270\ln\!\left(\frac{294{,}875}{373{,}15}\right).
Calculo numérico:
\frac{294{,}875}{373{,}15}\approx 0{,}7902,\qquad \ln(0{,}7902)\approx -0{,}2363
\Delta S_{\text{Al}} \approx 270\cdot(-0{,}2363)\approx -63{,}70\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
(Valor negativo porque o alumínio esfriou.)

Passo 7

Calculo a variação de entropia da água:
  • m_{\text{H}_2\text{O}} c_{\text{H}_2\text{O}} = 3142{,}5\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
  • T_{\text{H}_2\text{O},i}=288{,}15\\ \text{K}.
  • T_f=294{,}875\\ \text{K}.
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} = 3142{,}5\ln\!\left(\frac{294{,}875}{288{,}15}\right).
Calculo numérico:
\frac{294{,}875}{288{,}15}\approx 1{,}02353,\qquad \ln(1{,}02353)\approx 0{,}02328
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} \approx 3142{,}5\cdot0{,}02328 \approx 73{,}12\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
(Valor positivo porque a água aqueceu.)

Passo 8

Variação de entropia total do sistema (somando as duas contribuições):
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{Al}} + \Delta S_{\text{H}_2\text{O}} \approx -63{,}70 + 73{,}12 = 9{,}42\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Resultado positivo, conforme esperado para um processo irreversível isolado (mistura térmica).

Resposta

T_f \approx 21{,}73^\circ\text{C}
\Delta S_{\text{Al}} \approx -63{,}70\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} \approx 73{,}12\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
\Delta S_{\text{total}} \approx 9{,}42\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}

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