Tem-se uma solução de 800 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de água com 1,5 \% de nicotina através de um processo em contra-corrente a 20 oC . Deseja-se reduzir o teor de nicotina a 0,1 \% :
a) Utilizando querosene como solvente, determinar a vazão mínima para realizar a extração.
b) Determinar o número de estágios teóricos, se 1000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de querosene forem utilizados.
\mathbf{X} \mathbf{Y}
0 0
0,001011 0,000807
0,00246 0,001961
0,00502 0,00456
0,00751 0,00686
0,00998 0,00913
0,0204 0,0187

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos que eu peguei no enunciado:
    • Vazão da solução aquosa (alimentação): F = 800\\ \mathrm{lb/h}.
    • Teor inicial de nicotina na água (fração em massa): x_F = 1{,}5\% = 0{,}015.
    • Teor desejado na fase aquosa após extração (fração em massa): x_R = 0{,}1\% = 0{,}001.
    • Solvente: querosene puro na alimentação, então teor inicial do solvente em nicotina é y_{S0}=0.
    • Tabela de equilíbrio (peguei todos os pares (X,Y) da tabela fornecida):
      • (0,\,0)
      • (0{,}001011,\,0{,}000807)
      • (0{,}00246,\,0{,}001961)
      • (0{,}00502,\,0{,}00456)
      • (0{,}00751,\,0{,}00686)
      • (0{,}00998,\,0{,}00913)
      • (0{,}0204,\,0{,}0187)
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) Determinar a vazão mínima de querosene necessária para atingir x_R=0{,}001 em contracorrente (ou seja, a vazão S_{\min}).
    (b) Se for usado S=1000\\ \mathrm{lb/h} de querosene, determinar o número de estágios teóricos necessários.

Passo 2

Conceito e fórmula para vazão mínima de solvente (explicação didática).
  • Ideia física: para uma extração contracorrente, a vazão mínima de solvente para alcançar um determinado nível de desrarefação acontece quando o solvente que sai do extrator está em equilíbrio com a fase aquosa que sai (ou seja, o extrato final está em equilíbrio com o raffinado final). Nesse caso o número de estágios tende para infinito e a relação de balanço global fornece a vazão mínima.
  • Balanço global de soluto (nicotina) no processo:
    F x_F + S y_{S0} \;=\; F x_R + S y_E,
    onde y_E é a fração de nicotina no solvente que sai do extrator (extracto) e y_{S0} é a fração na alimentação de solvente (aqui y_{S0}=0).
  • Para a condição “mínima” (limite de operação), o solvente que sai está em equilíbrio com o raffinado que sai, então
    y_E = f(x_R),
    onde f(x) é a curva de equilíbrio dada pela tabela (é a relação y em função de x). Substituindo no balanço e isolando S obtemos a vazão mínima:
    S_{\min} \;=\; \dfrac{F\,(x_F - x_R)}{f(x_R) - y_{S0}}.
    Como y_{S0}=0, simplifica para
    S_{\min} \;=\; \dfrac{F\,(x_F - x_R)}{f(x_R)}.
  • Observação importante: para usar essa fórmula preciso do valor de f(x_R). Se o ponto x_R não estiver exatamente na tabela, faço interpolação; se estiver, uso diretamente o valor da tabela.

Passo 3

Aplicando a fórmula para S_{\min} usando o dado de equilíbrio que peguei na tabela.
  • O ponto x_R=0{,}001 não aparece exatamente na tabela, mas há um par muito próximo: (0{,}001011,\;0{,}000807). Vou usar esse ponto (ou seja, peguei f(0{,}001)\approx 0{,}000807 da tabela) — isto é uma interpolação muito pequena e apropriada aqui.
  • Substituindo na expressão:
    S_{\min} \;=\; \dfrac{800\cdot(0{,}015-0{,}001)}{0{,}000807}.
    Calculo passo a passo:
    0{,}015-0{,}001 = 0{,}014.
800\cdot 0{,}014 = 11{,}2.
S_{\min} = \dfrac{11{,}2}{0{,}000807} \approx 13\,879\\ \mathrm{lb/h}.
  • Interpretação: é uma vazão muito grande porque a concentração de nicotina é muito baixa e o solvente, mesmo com boa afinidade, precisa levar quase toda a massa de nicotina; pequenos denominadores ( f(x_R) pequeno) causam S grande.

Passo 4

Planejamento para (b): como determinar o número de estágios teóricos quando S=1000\\ \mathrm{lb/h}.
  • Método escolhido: como a tabela mostra que a relação entre y e x é aproximadamente linear (valores de y/x próximos entre si especialmente na região de interesse), vou aproximar a curva de equilíbrio por uma relação linear simples do tipo
    y = K\,x,
    onde K é o coeficiente de distribuição aparente (razão y/x). Essa aproximação facilita a obtenção analítica do número de estágios e é uma escolha razoável quando a curva é quase reta passando pela origem — como acontece aqui.
  • Verificação na tabela (peguei estes valores para justificar K):
    • Para X=0{,}00998, Y=0{,}00913 então Y/X\approx 0{,}9158.
    • Para X=0{,}0204, Y=0{,}0187 então Y/X\approx 0{,}916.
    • Pontos próximos à região do x_F sugerem K\approx 0{,}916.
      Vou então usar K = 0{,}916 (aproximação justificada pelos pares da tabela na região).

Passo 5

Derivação didática da fórmula para o número de estágios com y = K x (passo-a-passo).
  • Considere N estágios teóricos em contracorrente, fluxos constantes F para a fase aquosa e S para o solvente. Para equilíbrio linear y = K x, existe uma solução analítica simples para a composição do raffinado final após N estágios:
    • Para um estágio ( N=1 ), o balanço de soluto dá x_R = \dfrac{F x_F}{F + S K} = \dfrac{x_F}{1 + \dfrac{S K}{F}}.(notas: derivei isso antes usando balanço em único estágio: F x_F + S\cdot 0 = F x_R + S y_E e y_E = K x_R.)
    • Repetindo por N estágios idênticos (propriedade geométrica do processo com equilíbrio linear) resulta na relação x_R = \dfrac{x_F}{\left(1 + \dfrac{S K}{F}\right)^{N}}.Esta expressão pode ser entendida porque cada estágio reduz a concentração no raffinado por um fator 1 + \dfrac{S K}{F} quando o equilíbrio é linear (a dedução formal é por recorrência entre estágios).
  • Isolando N:
    \left(1 + \dfrac{S K}{F}\right)^{N} = \dfrac{x_F}{x_R} \quad\Longrightarrow\quad N = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_F}{x_R}\right)}{\ln\!\left(1 + \dfrac{S K}{F}\right)}.
    Esta é a fórmula que vou usar. Ela exige K (que aproximei) e os fluxos F e S.

Passo 6

Aplicando a fórmula para o caso S=1000\\ \mathrm{lb/h}.
  • Valores que usei (todos peguei/do enunciado ou da tabela):
    F = 800,\quad S = 1000,\quad x_F = 0{,}015,\quad x_R = 0{,}001,\quad K = 0{,}916.
  • Calcular o argumento do logaritmo:
    1 + \dfrac{S K}{F} \;=\; 1 + \dfrac{1000\cdot 0{,}916}{800} \;=\; 1 + \dfrac{916}{800} \;=\; 1 + 1{,}145 = 2{,}145.
  • Calcular o numerador:
    \dfrac{x_F}{x_R} = \dfrac{0{,}015}{0{,}001} = 15.
  • Finalmente:
    N \;=\; \dfrac{\ln(15)}{\ln(2{,}145)}.
    Cálculos:
    \ln(15) \approx 2{,}70805,\qquad \ln(2{,}145)\approx 0{,}7626.
N \approx \dfrac{2{,}70805}{0{,}7626} \approx 3{,}55.
  • Interpretação prática: o número de estágios teóricos calculado é N\approx 3{,}55. Como não se pode ter fração de estágio na prática, precisa-se de 4 estágios teóricos para atender a especificação (sempre arredonda-se para cima no número de estágios quando o objetivo é atingir ou ficar abaixo da concentração alvo).

Passo 7

Resumo das decisões e observações práticas (didática curta e motivadora).
  • Para (a) eu usei o princípio do balanço global e a condição de que, na condição mínima, o solvente de saída está em equilíbrio com o raffinado de saída; peguei f(x_R) diretamente da tabela próxima a x_R.
  • Para (b) aproximei a curva por uma relação linear y=Kx usando pontos da tabela próximos à região do alimento; isso simplifica a análise e é justificado pela linearidade observada. Daí usei a fórmula analítica para N em presença de equilíbrio linear.
  • Conclusões numéricas são sensíveis à escolha de f(x_R) e de K; se quiser precisão maior pode-se interpolar mais nitidamente a curva de equilíbrio (ou ajustar uma reta por mínimos quadrados) e recalcular — mas os valores obtidos já dão a ordem de grandeza correta.

Resposta

(a) S_{\min}\approx 13\,879\\ \mathrm{lb/h}.
(b) N \approx 3{,}55, ou seja, são necessários 4 estágios teóricos para garantir x_R=0{,}001.

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