Tem-se uma solução de
de água com
de nicotina através de um processo em contra-corrente a 20 oC . Deseja-se reduzir o teor de nicotina a
:
a) Utilizando querosene como solvente, determinar a vazão mínima para realizar a extração.
b) Determinar o número de estágios teóricos, se
de querosene forem utilizados.
0
0
0,001011
0,000807
0,00246
0,001961
0,00502
0,00456
0,00751
0,00686
0,00998
0,00913
0,0204
0,0187
a) Utilizando querosene como solvente, determinar a vazão mínima para realizar a extração.
b) Determinar o número de estágios teóricos, se
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| 0 | 0 |
| 0,001011 | 0,000807 |
| 0,00246 | 0,001961 |
| 0,00502 | 0,00456 |
| 0,00751 | 0,00686 |
| 0,00998 | 0,00913 |
| 0,0204 | 0,0187 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados numéricos que eu peguei no enunciado:
- Vazão da solução aquosa (alimentação):
. - Teor inicial de nicotina na água (fração em massa):
. - Teor desejado na fase aquosa após extração (fração em massa):
. - Solvente: querosene puro na alimentação, então teor inicial do solvente em nicotina é
. - Tabela de equilíbrio (peguei todos os pares
da tabela fornecida): -
- Vazão da solução aquosa (alimentação):
-
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar a vazão mínima de querosene necessária para atingirem contracorrente (ou seja, a vazão ).
(b) Se for usadode querosene, determinar o número de estágios teóricos necessários.
Passo 2
Conceito e fórmula para vazão mínima de solvente (explicação didática).
-
Ideia física: para uma extração contracorrente, a vazão mínima de solvente para alcançar um determinado nível de desrarefação acontece quando o solvente que sai do extrator está em equilíbrio com a fase aquosa que sai (ou seja, o extrato final está em equilíbrio com o raffinado final). Nesse caso o número de estágios tende para infinito e a relação de balanço global fornece a vazão mínima.
-
Balanço global de soluto (nicotina) no processo:onde
é a fração de nicotina no solvente que sai do extrator (extracto) e é a fração na alimentação de solvente (aqui ). -
Para a condição “mínima” (limite de operação), o solvente que sai está em equilíbrio com o raffinado que sai, entãoonde
é a curva de equilíbrio dada pela tabela (é a relação em função de ). Substituindo no balanço e isolando obtemos a vazão mínima: Como, simplifica para -
Observação importante: para usar essa fórmula preciso do valor de
. Se o ponto não estiver exatamente na tabela, faço interpolação; se estiver, uso diretamente o valor da tabela.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
usando o dado de equilíbrio que peguei na tabela.
-
O ponto
não aparece exatamente na tabela, mas há um par muito próximo: . Vou usar esse ponto (ou seja, peguei da tabela) — isto é uma interpolação muito pequena e apropriada aqui. -
Substituindo na expressão:Calculo passo a passo:
- Interpretação: é uma vazão muito grande porque a concentração de nicotina é muito baixa e o solvente, mesmo com boa afinidade, precisa levar quase toda a massa de nicotina; pequenos denominadores (
pequeno) causam S grande.
Passo 4
Planejamento para (b): como determinar o número de estágios teóricos quando
.
-
Método escolhido: como a tabela mostra que a relação entre
e é aproximadamente linear (valores de próximos entre si especialmente na região de interesse), vou aproximar a curva de equilíbrio por uma relação linear simples do tipo ondeé o coeficiente de distribuição aparente (razão ). Essa aproximação facilita a obtenção analítica do número de estágios e é uma escolha razoável quando a curva é quase reta passando pela origem — como acontece aqui. -
Verificação na tabela (peguei estes valores para justificar
): - Para
, então . - Para
, então . - Pontos próximos à região do
sugerem .
Vou então usar(aproximação justificada pelos pares da tabela na região).
- Para
Passo 5
Derivação didática da fórmula para o número de estágios com
(passo-a-passo).
-
Considere
estágios teóricos em contracorrente, fluxos constantes para a fase aquosa e para o solvente. Para equilíbrio linear , existe uma solução analítica simples para a composição do raffinado final após estágios: - Para um estágio (
), o balanço de soluto dá (notas: derivei isso antes usando balanço em único estágio: e .) - Repetindo por
estágios idênticos (propriedade geométrica do processo com equilíbrio linear) resulta na relação Esta expressão pode ser entendida porque cada estágio reduz a concentração no raffinado por um fator quando o equilíbrio é linear (a dedução formal é por recorrência entre estágios).
- Para um estágio (
-
Isolando
: Esta é a fórmula que vou usar. Ela exige(que aproximei) e os fluxos e .
Passo 6
Aplicando a fórmula para o caso
.
-
Valores que usei (todos peguei/do enunciado ou da tabela):
-
Calcular o argumento do logaritmo:
-
Calcular o numerador:
-
Finalmente:Cálculos:
- Interpretação prática: o número de estágios teóricos calculado é
. Como não se pode ter fração de estágio na prática, precisa-se de 4 estágios teóricos para atender a especificação (sempre arredonda-se para cima no número de estágios quando o objetivo é atingir ou ficar abaixo da concentração alvo).
Passo 7
Resumo das decisões e observações práticas (didática curta e motivadora).
- Para (a) eu usei o princípio do balanço global e a condição de que, na condição mínima, o solvente de saída está em equilíbrio com o raffinado de saída; peguei
diretamente da tabela próxima a . - Para (b) aproximei a curva por uma relação linear
usando pontos da tabela próximos à região do alimento; isso simplifica a análise e é justificado pela linearidade observada. Daí usei a fórmula analítica para em presença de equilíbrio linear. - Conclusões numéricas são sensíveis à escolha de
e de ; se quiser precisão maior pode-se interpolar mais nitidamente a curva de equilíbrio (ou ajustar uma reta por mínimos quadrados) e recalcular — mas os valores obtidos já dão a ordem de grandeza correta.
Resposta
(a)
(b)
, ou seja, são necessários
estágios teóricos para garantir
.