Com o tema de derivadas parciais, calcule as questões a seguir:
\operatorname{sen}(x y z)+x y=x y z, determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, em que z=z(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\operatorname{sen}(x y z)+x y=x y z,
onde z=z(x,y) é uma função de duas variáveis. As perguntas são: determinar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Informações relevantes: x e y são as variáveis independentes; z depende de x e y; a igualdade vale para todos os pontos do domínio considerados.

Passo 2

Ideia da técnica que vamos usar (explicação didática da regra): como z aparece na equação misturada com x e y, usaremos diferenciação implícita. Isso significa derivar ambos os lados da igualdade em relação a x (mantendo y constante) para obter uma equação que contenha \frac{\partial z}{\partial x}; depois repetir em relação a y (mantendo x constante) para obter \frac{\partial z}{\partial y}.
Mini-aula sobre as regras usadas:
  • Derivada de \sin(u) em relação à variável é \cos(u)\cdot u' (regra da cadeia). Aqui u será x y z(x,y).
  • Derivada de um produto, por exemplo de x\cdot z(x,y) em relação a x (com y constante), é z + x\cdot z_x (produto: derivada de x é 1, deixamos z; mais x vezes derivada de z em relação a x, que é z_x).
  • Notação: vou usar z_x para \frac{\partial z}{\partial x} e z_y para \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 3

Derivação em relação a x (com y constante).
Defina u(x,y)=x y z(x,y). Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}(x y z)\big)=\cos(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calcule \frac{\partial u}{\partial x}. Como u=x\cdot y\cdot z(x,y) e y é constante quando derivamos em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x z(x,y)\big) = y\big(z + x z_x\big).

Passo 4

Derive termo a termo a equação inicial em relação a x. A equação é
\operatorname{sen}(x y z)+x y = x y z.
Derivando:
\cos(u)\cdot y\big(z + x z_x\big) + y = y z + x y z_x,
onde usei que \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y e que \frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z + x y z_x.

Passo 5

Agora resolvemos essa equação para z_x. Primeiro escrevo explicitamente e agrupo os termos com z_x:
y\cos(u)\,z + y\cos(u)\,x z_x + y = y z + x y z_x.
Levo todos os termos para o mesmo lado:
y\cos(u)\,x z_x - x y z_x + y\cos(u)\,z + y - y z = 0.
Fatorando x y nos termos com z_x e y nos termos restantes:
x y\big(\cos(u)-1\big) z_x + y\big(\cos(u)\,z + 1 - z\big)=0.

Passo 6

Isolando z_x. Se x y\big(\cos(u)-1\big)\neq 0 (caso geral), temos
z_x = -\frac{y\big(\cos(u)\,z + 1 - z\big)}{x y\big(\cos(u)-1\big)}.
Cancelando o y (quando y\neq 0; a expressão permanece válida por continuidade nos outros pontos),
z_x = -\frac{\cos(u)\,z + 1 - z}{x\big(\cos(u)-1\big)}.
Simplificando a forma (multiplicando numerador e denominador por -1 ou reorganizando) obtemos uma forma mais agradável:
z_x = \frac{1 - z + z\cos(u)}{x\big(1-\cos(u)\big)},
onde lembre-se que u=x y z.

Passo 7

Derivação em relação a y (com x constante). Repetimos o procedimento trocando papéis de x e y.
Calcule \frac{\partial u}{\partial y} com u=x y z(x,y) e x constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(y z(x,y)\big) = x\big(z + y z_y\big).
Derivando a equação original em relação a y:
\cos(u)\cdot x\big(z + y z_y\big) + x = x z + x y z_y.

Passo 8

Agrupando termos em z_y e isolando:
x y\big(\cos(u)-1\big) z_y + x\big(\cos(u)\,z + 1 - z\big)=0.
Logo, resolvendo para z_y:
z_y = -\frac{x\big(\cos(u)\,z + 1 - z\big)}{x y\big(\cos(u)-1\big)} = -\frac{\cos(u)\,z + 1 - z}{y\big(\cos(u)-1\big)}.
Reescrevendo na mesma forma simplificada do caso anterior:
z_y = \frac{1 - z + z\cos(u)}{y\big(1-\cos(u)\big)}.

Passo 9

Comentário final curto e motivador: repare que as duas derivadas parciais têm a mesma expressão no numerador e só diferem pelo denominador x ou y. Isso acontece pela simetria da equação original entre x e y. Se precisar, dá para checar substituindo pontos específicos (por exemplo, valores de x,y,z) para ver que as fórmulas retornam valores consistentes.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1 - z + z\cos\big(x y z\big)}{x\big(1-\cos\big(x y z\big)\big)}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1 - z + z\cos\big(x y z\big)}{y\big(1-\cos\big(x y z\big)\big)}

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