Com o tema de derivadas parciais, calcule as questões a seguir:
, determine
e
, em que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
é uma função de duas variáveis. As perguntas são: determinar
e
. Informações relevantes:
e
são as variáveis independentes;
depende de
e
; a igualdade vale para todos os pontos do domínio considerados.
Passo 2
Ideia da técnica que vamos usar (explicação didática da regra): como
aparece na equação misturada com
e
, usaremos diferenciação implícita. Isso significa derivar ambos os lados da igualdade em relação a
(mantendo
constante) para obter uma equação que contenha
; depois repetir em relação a
(mantendo
constante) para obter
.
Mini-aula sobre as regras usadas:
- Derivada de
em relação à variável é (regra da cadeia). Aqui será . - Derivada de um produto, por exemplo de
em relação a (com constante), é (produto: derivada de é , deixamos ; mais vezes derivada de em relação a , que é ). - Notação: vou usar
para e para .
Passo 3
Derivação em relação a
(com
constante).
Defina
. Então
Agora calcule
. Como
e
é constante quando derivamos em relação a
,
Passo 4
Derive termo a termo a equação inicial em relação a
. A equação é
Derivando:
onde usei que
e que
.
Passo 5
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro escrevo explicitamente e agrupo os termos com
:
Levo todos os termos para o mesmo lado:
Fatorando
nos termos com
e
nos termos restantes:
Passo 6
Isolando
. Se
(caso geral), temos
Cancelando o
(quando
; a expressão permanece válida por continuidade nos outros pontos),
Simplificando a forma (multiplicando numerador e denominador por
ou reorganizando) obtemos uma forma mais agradável:
onde lembre-se que
.
Passo 7
Derivação em relação a
(com
constante). Repetimos o procedimento trocando papéis de
e
.
Calcule
com
e
constante:
Derivando a equação original em relação a
:
Passo 8
Agrupando termos em
e isolando:
Logo, resolvendo para
:
Reescrevendo na mesma forma simplificada do caso anterior:
Passo 9
Comentário final curto e motivador: repare que as duas derivadas parciais têm a mesma expressão no numerador e só diferem pelo denominador
ou
. Isso acontece pela simetria da equação original entre
e
. Se precisar, dá para checar substituindo pontos específicos (por exemplo, valores de
) para ver que as fórmulas retornam valores consistentes.