Com o tema de derivadas parciais, calcule as questões a seguir:
, com
e
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes relações entre variáveis:
O que é pedido: calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 2
Estratégia (intuição e fórmula que vamos usar). Aqui
depende de
e
, e
e
dependem de
e
. Para esse tipo de composição usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A forma da regra da cadeia é:
Explicando devagar:
é quanto
muda se só
muda (segurando
fixo);
é quanto
muda quando só
muda (segurando
fixo). Multiplicando e somando os termos cobrimos as duas “vias” que
e
afetam
(via
e via
).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, tratando
e
como variáveis independentes.
A função é
. Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Aqui usei a regra básica: derivada de
em relação a
é
; derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
Trata-se de um produto, mas como partial differentiations mantêm a outra variável constante, fica simples.
Derivando em relação a
(considerando
constante):
Derivando em relação a
(considerando
constante):
Explicação rápida: se
, para cada unidade que
aumenta,
aumenta em
vezes, e vice-versa.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(com
constante):
Derivando em relação a
(com
constante):
Porque
é linear em
com coeficiente
e linear em
com coeficiente
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia para
. Substituímos os resultados dos passos anteriores na fórmula
Usando
,
,
e
, obtemos:
Agora substituímos
e
para expressar em termos de
:
Multiplicando e organizando:
Passo 7
Agora fazemos
pela regra da cadeia:
Usando
,
,
e
:
Substituindo
e
:
Multiplicando e organizando: