Com o tema de derivadas parciais, calcule as questões a seguir:
z=u^{2}+3 v^{2}, com u=x y e v=x-y, encontre \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes relações entre variáveis:
z = u^{2} + 3v^{2},
u = x y,
v = x - y.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Estratégia (intuição e fórmula que vamos usar). Aqui z depende de u e v, e u e v dependem de x e y. Para esse tipo de composição usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A forma da regra da cadeia é:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Explicando devagar: \frac{\partial z}{\partial u} é quanto z muda se só u muda (segurando v fixo); \frac{\partial u}{\partial x} é quanto u muda quando só x muda (segurando y fixo). Multiplicando e somando os termos cobrimos as duas “vias” que x e y afetam z (via u e via v).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v, tratando u e v como variáveis independentes.
A função é z(u,v)=u^{2}+3v^{2}. Derivando em relação a u (tratando v como constante):
\frac{\partial z}{\partial u}=2u.
Derivando em relação a v (tratando u como constante):
\frac{\partial z}{\partial v}=6v.
Aqui usei a regra básica: derivada de u^{2} em relação a u é 2u; derivada de 3v^{2} em relação a v é 3\cdot 2v=6v.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u=xy.
Trata-se de um produto, mas como partial differentiations mantêm a outra variável constante, fica simples.
Derivando em relação a x (considerando y constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=y.
Derivando em relação a y (considerando x constante):
\frac{\partial u}{\partial y}=x.
Explicação rápida: se u=xy, para cada unidade que x aumenta, u aumenta em y vezes, e vice-versa.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de v=x-y.
Derivando em relação a x (com y constante):
\frac{\partial v}{\partial x}=1.
Derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial v}{\partial y}=-1.
Porque v é linear em x com coeficiente 1 e linear em y com coeficiente -1.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia para \frac{\partial z}{\partial x}. Substituímos os resultados dos passos anteriores na fórmula
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}.
Usando \frac{\partial z}{\partial u}=2u, \frac{\partial u}{\partial x}=y, \frac{\partial z}{\partial v}=6v e \frac{\partial v}{\partial x}=1, obtemos:
\frac{\partial z}{\partial x}=2u\cdot y + 6v\cdot 1 = 2uy + 6v.
Agora substituímos u=xy e v=x-y para expressar em termos de x,y:
\frac{\partial z}{\partial x}=2(xy)\,y + 6(x-y).
Multiplicando e organizando:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x y^{2} + 6x - 6y.

Passo 7

Agora fazemos \frac{\partial z}{\partial y} pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Usando \frac{\partial z}{\partial u}=2u, \frac{\partial u}{\partial y}=x, \frac{\partial z}{\partial v}=6v e \frac{\partial v}{\partial y}=-1:
\frac{\partial z}{\partial y}=2u\cdot x + 6v\cdot(-1)=2ux - 6v.
Substituindo u=xy e v=x-y:
\frac{\partial z}{\partial y}=2(xy)\,x - 6(x-y).
Multiplicando e organizando:
\frac{\partial z}{\partial y}=2x^{2}y - 6x + 6y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x y^{2}+6x-6y\n \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2x^{2}y-6x+6y

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