Temos um capacitor cilíndrico com cilindros condutores de raio \mathrm{r}=3,6 \mathrm{~cm} e \mathrm{R}=14,9 \mathrm{~cm}, e comprimento \mathrm{L}=22 \mathrm{~cm}.
Qual é a carga Q nas placas se a d.d.p. gerada for 103 volts.
Dê a resposta em nC (nano Colombs) com 2 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor cilíndrico coaxial com as seguintes informações:
  • Raio interno: r=3,6\\ \text{cm}.
  • Raio externo: R=14,9\\ \text{cm}.
  • Comprimento: L=22\\ \text{cm}.
  • Diferença de potencial entre as placas: V=103\\ \text{V}.
O que se pede:
  • A carga Q nas placas (usar a d.d.p. fornecida) e dar a resposta em nanoCoulombs (nC) com duas casas decimais.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
Para um capacitor coaxial (dois cilindros concêntricos de comprimento L), a relação entre carga Q em uma ligação e a diferença de potencial V entre os cilindros vem de duas ideias:
  1. Lei de Gauss para um cilindro gaussiano de raio \rho com r<\rho<R: o campo elétrico radial E(\rho) é uniforme sobre a superfície cilíndrica e dado por
E(\rho)=\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 L\,\rho}.
Aqui:
  • Q é a carga do condutor interno (módulo),
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • L é o comprimento do capacitor,
  • \rho é a distância radial ao eixo (entre r e R).
  1. A diferença de potencial entre os cilindros é a integral do campo:
V=\int_{r}^{R} E(\rho)\,d\rho =\int_{r}^{R}\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 L\,\rho}\,d\rho =\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 L}\ln\!\left(\frac{R}{r}\right).
Desse resultado isolamos Q ou o capacitância C. A capacitância total é
C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi \epsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{R}{r}\right)}.
Explicando as variáveis desta fórmula final:
  • C é a capacitância (em farads, F),
  • \epsilon_0 vale aproximadamente \epsilon_0=8,854187817\times 10^{-12}\\ \text{F}\!/\!\text{m},
  • L é o comprimento em metros,
  • R e r são os raios externo e interno em metros.

Passo 3

Converter todas as unidades para o SI (metros) porque \epsilon_0 está em \text{F}\!/\!\text{m}.
r=3,6\\ \text{cm}=0,036\\ \text{m}, \qquad R=14,9\\ \text{cm}=0,149\\ \text{m}, \qquad L=22\\ \text{cm}=0,22\\ \text{m}.
Calcular o argumento do logaritmo:
\frac{R}{r}=\frac{0,149}{0,036}\approx 4,138888\dots
\ln\!\left(\frac{R}{r}\right)\approx 1,420459.

Passo 4

Calcular a capacitância C usando a fórmula
C=\frac{2\pi \epsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{R}{r}\right)}.
Substituindo valores (com \epsilon_0=8,854187817\times 10^{-12}\\ \text{F}\!/\!\text{m}):
2\pi \epsilon_0 L = 2\pi \times 8,854187817\times 10^{-12}\times 0,22 \approx 1,22391513\times 10^{-11}\\ \text{F}.
Dividindo pelo logaritmo:
C\approx \frac{1,22391513\times 10^{-11}}{1,420459} \approx 8,612707\times 10^{-12}\\ \text{F}.

Passo 5

Agora a carga Q é Q=C\,V. Com V=103\\ \text{V}:
Q=C\,V\approx 8,612707\times 10^{-12}\times 103 \approx 8,871088\times 10^{-10}\\ \text{C}.
Converter para nanoCoulombs (1 nC =10^{-9} C):
Q\approx 0,8871088\\ \text{nC}.
Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido):
Q\approx 0,89\\ \text{nC}.

Resposta

0,89\\ \text{nC}

Exercícios relacionados