Temos duas moedas, das quais uma é perfeita e a outra tem duas caras. Uma das moedas, tomada ao acaso, é lançada. Qual é a probabilidade de se obter cara?

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Há duas moedas: uma moeda perfeita (vou chamar de C_F) e uma moeda com duas caras (vou chamar de C_D).
    • Uma das moedas é escolhida ao acaso (isso significa que cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida).
    • A moeda escolhida é lançada uma vez.
  • Pergunta:
    • Qual é a probabilidade de obter cara no lançamento?

Passo 2

Vou traduzir a situação em eventos e escrever a ferramenta que vou usar (explicando o que é).
  • Definições de eventos:
    • C_F: evento “a moeda escolhida é a moeda perfeita”.
    • C_D: evento “a moeda escolhida é a moeda com duas caras”.
    • H: evento “o resultado do lançamento é cara”.
  • Ideia principal usada (Lei da Probabilidade Total):
    • Se C_F e C_D formam uma partição do espaço amostral (ou seja, uma e só uma das moedas é escolhida), então
    P(H)=P(C_F)\,P(H\mid C_F)+P(C_D)\,P(H\mid C_D).
    • Aqui P(H\mid C_i) é a probabilidade de obter cara dado que a moeda C_i foi escolhida. Essa fórmula soma as probabilidades condicionais ponderadas pela probabilidade de cada caso ocorrer.

Passo 3

Calcular as probabilidades condicionais P(H\mid C_F) e P(H\mid C_D), explicando por que valem o que valem.
  • Para a moeda perfeita C_F: ela tem uma cara e uma coroa, logo
    P(H\mid C_F)=\tfrac{1}{2}.
  • Para a moeda com duas caras C_D: ambos os lados são cara, logo em qualquer lançamento sai cara com certeza:
    P(H\mid C_D)=1.

Passo 4

Determinar P(C_F) e P(C_D) (probabilidades de escolher cada moeda).
  • Foi dito que a moeda é escolhida ao acaso entre as duas, logo cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida: P(C_F)=P(C_D)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a Lei da Probabilidade Total e fazer as contas passo a passo.
  • Substituindo os valores na fórmula: P(H)=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 1.
  • Calcular cada termo: \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}.
  • Somando: P(H)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{4}=\tfrac{3}{4}.

Passo 6

Interpretação alternativa (intuitiva) por contagem de casos igualmente prováveis — ajuda a fixar a ideia.
  • Pensar em duas etapas: escolher a moeda (2 opções) e lançar (2 lados imaginários). Se montar os resultados de forma que cada escolha de moeda seja igualmente provável, pode-se ver três resultados favoráveis dentre quatro “casos” igualmente prováveis:
    • Escolher C_F e sair cara: favorável.
    • Escolher C_F e sair coroa: não favorável.
    • Escolher C_D e sair cara (lado 1): favorável.
    • Escolher C_D e sair cara (lado 2): favorável.
  • Assim há 3 casos com cara em 4 casos possíveis, dando 3/4. Essa é apenas uma maneira intuitiva de ver o mesmo resultado obtido com a fórmula.

Resposta

\dfrac{3}{4}=0,75

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