Temos duas moedas, das quais uma é perfeita e a outra tem duas caras. Uma das moedas, tomada ao acaso, é lançada. Qual é a probabilidade de se obter cara?
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados do enunciado:
- Há duas moedas: uma moeda perfeita (vou chamar de
) e uma moeda com duas caras (vou chamar de ). - Uma das moedas é escolhida ao acaso (isso significa que cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida).
- A moeda escolhida é lançada uma vez.
- Há duas moedas: uma moeda perfeita (vou chamar de
-
Pergunta:
- Qual é a probabilidade de obter cara no lançamento?
Passo 2
Vou traduzir a situação em eventos e escrever a ferramenta que vou usar (explicando o que é).
-
Definições de eventos:
-
: evento “a moeda escolhida é a moeda perfeita”. -
: evento “a moeda escolhida é a moeda com duas caras”. -
: evento “o resultado do lançamento é cara”.
-
-
Ideia principal usada (Lei da Probabilidade Total):
- Se
e formam uma partição do espaço amostral (ou seja, uma e só uma das moedas é escolhida), então
- Aqui
é a probabilidade de obter cara dado que a moeda foi escolhida. Essa fórmula soma as probabilidades condicionais ponderadas pela probabilidade de cada caso ocorrer.
- Se
Passo 3
Calcular as probabilidades condicionais
e
, explicando por que valem o que valem.
-
Para a moeda perfeita
: ela tem uma cara e uma coroa, logo -
Para a moeda com duas caras
: ambos os lados são cara, logo em qualquer lançamento sai cara com certeza:
Passo 4
Determinar
e
(probabilidades de escolher cada moeda).
- Foi dito que a moeda é escolhida ao acaso entre as duas, logo cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida:
Passo 5
Aplicar a Lei da Probabilidade Total e fazer as contas passo a passo.
- Substituindo os valores na fórmula:
- Calcular cada termo:
- Somando:
Passo 6
Interpretação alternativa (intuitiva) por contagem de casos igualmente prováveis — ajuda a fixar a ideia.
- Pensar em duas etapas: escolher a moeda (2 opções) e lançar (2 lados imaginários). Se montar os resultados de forma que cada escolha de moeda seja igualmente provável, pode-se ver três resultados favoráveis dentre quatro “casos” igualmente prováveis:
- Escolher
e sair cara: favorável. - Escolher
e sair coroa: não favorável. - Escolher
e sair cara (lado 1): favorável. - Escolher
e sair cara (lado 2): favorável.
- Escolher
- Assim há
casos com cara em casos possíveis, dando . Essa é apenas uma maneira intuitiva de ver o mesmo resultado obtido com a fórmula.