Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas:
podemos formar uma comissão de 3 pessoas?
podemos formar uma comissão de 3 pessoas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
homens e mulheres. - Queremos formar uma comissão de
pessoas.
O que o problema pede:
- Calcular de quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de
pessoas a partir dessas pessoas no total.
Passo 2
Entendendo o que significa “de quantas maneiras”: aqui a ordem das pessoas na comissão não importa (uma comissão é um grupo, não uma fila). Isso significa que estamos lidando com “combinações” — escolher
elementos de um conjunto de
elementos sem considerar ordem e sem repetição.
Explicando combinação de forma simples:
- Se eu tenho
elementos e quero escolher deles sem ordem, o número de formas é dado pelo coeficiente binomial
- Nesse contexto,
é o total de pessoas disponíveis e é o número de pessoas da comissão.
Passo 3
A fórmula do coeficiente binomial (combinação) é:
onde:
-
(lê-se “n fatorial”) significa , -
e são definidos da mesma forma, - e a fórmula conta todas as seleções de
elementos dentre sem considerar ordem.
No nosso problema temos
e
. Logo queremos calcular
.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Agora vamos simplificar
dividindo por
. Note que
então
Passo 5
Continuando a simplificação sem calculadora:
Então
Efetuando divisões fáceis para evitar grandes números:
- Podemos dividir
por (parte de ) e dividir por :
Agora multiplicamos:
Passo 6
(Verificação alternativa por casos, para reforçar a compreensão)
Podemos também contar somando os casos por número de homens na comissão:
Podemos também contar somando os casos por número de homens na comissão:
-
homens e mulheres: . -
homem e mulheres: . -
homens e mulher: . -
homens e mulheres: .
Somando:
, que confirma o resultado anterior.