Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas:
podemos formar uma comissão de 3 pessoas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,5 homens e \,6 mulheres.
  • Queremos formar uma comissão de \,3 pessoas.
O que o problema pede:
  • Calcular de quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de \,3 pessoas a partir dessas \,11 pessoas no total.

Passo 2

Entendendo o que significa “de quantas maneiras”: aqui a ordem das pessoas na comissão não importa (uma comissão é um grupo, não uma fila). Isso significa que estamos lidando com “combinações” — escolher \,k elementos de um conjunto de \,n elementos sem considerar ordem e sem repetição.
Explicando combinação de forma simples:
  • Se eu tenho \,n elementos e quero escolher \,k deles sem ordem, o número de formas é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}.
  • Nesse contexto, \,n é o total de pessoas disponíveis e \,k é o número de pessoas da comissão.

Passo 3

A fórmula do coeficiente binomial (combinação) é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! (lê-se “n fatorial”) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1,
  • k! e (n-k)! são definidos da mesma forma,
  • e a fórmula conta todas as seleções de k elementos dentre n sem considerar ordem.
No nosso problema temos n=5+6=11 e k=3. Logo queremos calcular \binom{11}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\binom{11}{3}=\frac{11!}{3!\,8!}.
Agora vamos simplificar 11! dividindo por 8!. Note que
11!=11\cdot10\cdot9\cdot8!,
então
\frac{11!}{3!\,8!}=\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8!}{3!\,8!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3!}.

Passo 5

Continuando a simplificação sem calculadora:
3!=3\cdot2\cdot1=6.
Então
\binom{11}{3}=\frac{11\cdot10\cdot9}{6}.
Efetuando divisões fáceis para evitar grandes números:
  • Podemos dividir \,9 por \,3 (parte de 6=3\cdot2) e dividir \,10 por \,2:
\frac{11\cdot10\cdot9}{6}=\frac{11\cdot(10/2)\cdot(9/3)}{1}=11\cdot5\cdot3.
Agora multiplicamos:
11\cdot5=55, \qquad 55\cdot3=165.

Passo 6

(Verificação alternativa por casos, para reforçar a compreensão)
Podemos também contar somando os casos por número de homens na comissão:
  • 0 homens e 3 mulheres: \binom{5}{0}\binom{6}{3}=1\cdot20=20.
  • 1 homem e 2 mulheres: \binom{5}{1}\binom{6}{2}=5\cdot15=75.
  • 2 homens e 1 mulher: \binom{5}{2}\binom{6}{1}=10\cdot6=60.
  • 3 homens e 0 mulheres: \binom{5}{3}\binom{6}{0}=10\cdot1=10.
Somando: 20+75+60+10=165, que confirma o resultado anterior.

Resposta

\,165

Exercícios relacionados