Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas:
podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e uma mulher na mesma comissão?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: há 5 homens e 6 mulheres disponíveis.
  • Pedido: formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja exatamente 2 homens e 1 mulher na mesma comissão.

Passo 2

Entendimento do que conta como uma solução distinta: uma comissão é um subconjunto de 3 pessoas; a ordem dentro da comissão NÃO importa (ou seja, a comissão \{H_1,H_2,M_1\} é a mesma que \{H_2,H_1,M_1\}). Por isso vamos usar contagem por combinações (escolhas sem ordem). A ideia prática: escolher quais 2 homens serão incluídos dentre os 5, e escolher qual 1 mulher será incluída dentre as 6; depois aplicar o princípio multiplicativo (as duas escolhas são independentes, então multiplicam-se as quantidades).

Passo 3

Fórmula de combinação (explicação didática): o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto com n elementos, sem considerar ordem, é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplo curto: 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1. A razão dessa fórmula é que n! conta permutações e dividir por k! e (n-k)! corrige a contagem para eliminar a ordem entre os escolhidos e os não escolhidos.

Passo 4

Aplicar a fórmula para os homens: escolher 2 homens dentre 5
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}=\frac{5\cdot4}{2}=10.
Explicação prática: há 10 pares distintos de homens possíveis.

Passo 5

Aplicar para as mulheres e combinar: escolher 1 mulher dentre 6
\binom{6}{1}=\frac{6!}{1!5!}=6.
Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes), o número total de comissões com exatamente 2 homens e 1 mulher é
\binom{5}{2}\cdot\binom{6}{1}=10\cdot6.

Resposta

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