Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. De quantos modos distintos essas pessoas poderão ocupar as cadeiras?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
cadeiras disponíveis. - Há
pessoas distintas para sentar.
A pergunta é: de quantos modos distintos essaspessoas poderão ocupar as cadeiras?
Passo 2
Ideia básica (princípio multiplicativo): coloque as pessoas uma a uma. Para a primeira pessoa há
cadeiras livres; depois que ela ocupa uma, para a segunda pessoa restam
cadeiras; para a terceira restam
; para a quarta restam
. Como cada escolha para uma pessoa pode combinar com todas as escolhas das seguintes, multiplicamos as opções:
Agora calculamos passo a passo:
,
,
. Logo esse produto dá
.
Passo 3
Fórmula de permutação (forma compacta): a contagem acima é um caso de permutação sem repetição de
elementos escolhidos de um conjunto de
elementos. A fórmula geral é
onde
(fatorial de
) significa
. Aqui
e
, portanto
Expandindo
temos
, e ao simplificar com o
do denominador sobra exatamente
o que confirma o cálculo do Passo 2.
Passo 4
Pequeno exemplo para fixar a ideia: se houvesse
cadeiras e
pessoas distintas, as escolhas seriam
maneiras. Isso ilustra o mesmo princípio: para cada posição da primeira pessoa há várias escolhas da segunda, e multiplicamos.
Passo 5
Dica prática para prova: quando o problema pede “quantos modos de sentar
pessoas em
cadeiras” (com pessoas e cadeiras distintas), pense imediatamente em
ou no produto decrescente
. Fazendo as multiplicações manuais passo a passo evita depender de calculadora.
Resposta
1680