Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. De quantos modos distintos essas pessoas poderão ocupar as cadeiras?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,8\, cadeiras disponíveis.
  • \,4\, pessoas distintas para sentar.
    A pergunta é: de quantos modos distintos essas \,4\, pessoas poderão ocupar as \,8\, cadeiras?

Passo 2

Ideia básica (princípio multiplicativo): coloque as pessoas uma a uma. Para a primeira pessoa há \,8\, cadeiras livres; depois que ela ocupa uma, para a segunda pessoa restam \,7\, cadeiras; para a terceira restam \,6\,; para a quarta restam \,5\,. Como cada escolha para uma pessoa pode combinar com todas as escolhas das seguintes, multiplicamos as opções:
8 \times 7 \times 6 \times 5.
Agora calculamos passo a passo: \,8\times7=56, \,56\times6=336, \,336\times5=1680. Logo esse produto dá \,1680\,.

Passo 3

Fórmula de permutação (forma compacta): a contagem acima é um caso de permutação sem repetição de \,k\, elementos escolhidos de um conjunto de \,n\, elementos. A fórmula geral é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde \,n!\, (fatorial de \,n\,) significa \,n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1\,. Aqui \,n=8\, e \,k=4\,, portanto
P(8,4)=\frac{8!}{(8-4)!}=\frac{8!}{4!}.
Expandindo 8! temos 8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!, e ao simplificar com o 4! do denominador sobra exatamente
8\cdot7\cdot6\cdot5,
o que confirma o cálculo do Passo 2.

Passo 4

Pequeno exemplo para fixar a ideia: se houvesse \,3\, cadeiras e \,2\, pessoas distintas, as escolhas seriam \,3\times2=6\, maneiras. Isso ilustra o mesmo princípio: para cada posição da primeira pessoa há várias escolhas da segunda, e multiplicamos.

Passo 5

Dica prática para prova: quando o problema pede “quantos modos de sentar k pessoas em n cadeiras” (com pessoas e cadeiras distintas), pense imediatamente em P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!} ou no produto decrescente n(n-1)\cdots(n-k+1). Fazendo as multiplicações manuais passo a passo evita depender de calculadora.

Resposta

1680

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