Temos um motor síncrono trifásico de 230 \mathrm{~V}, 50 \mathrm{~Hz}, dois pólos que está solicitando uma corrente de 40 A com fator de potência unitário. Deseja-se que o motor passe a operar com um fator de potência 0.85 ad . Determine como isso pode ser feito e qual será o novo valor de corrente de armadura.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede (assumi que “ad” significa “atraso”, i.e., fator de potência defasado/lagging).
  • Dados fornecidos:
    • Motor síncrono trifásico com tensão de linha V = 230\\ \mathrm{V}.
    • Frequência 50\\ \mathrm{Hz} (não afeta os cálculos de potência direta aqui).
    • Número de polos: 2 (não será necessário para este cálculo).
    • Corrente inicial de armadura I = 40\\ \mathrm{A} (por fase/linha, em sistema trifásico).
    • Fator de potência inicial \cos\varphi = 1 (unitário).
  • O que se pede:
    1. Como fazer o motor passar a operar com fator de potência \cos\varphi' = 0,85 (atraso).
    2. Qual será o novo valor da corrente de armadura I'.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • Em um sistema trifásico equilibrado, a potência aparente S é
S=\sqrt{3}\,V\,I,
onde V é a tensão de linha (em volts) e I é a corrente de linha (em ampères).
  • A potência ativa (real) P relaciona-se com S por
P = S\cos\varphi = \sqrt{3}\,V\,I\cos\varphi,
onde \cos\varphi é o fator de potência (ângulo entre tensão e corrente).
  • A potência reativa Q é dada por
Q = S\sin\varphi = \sqrt{3}\,V\,I\sin\varphi,
e relaciona-se com P por Q = P\tan\varphi.
  • Observação prática importante (hipótese usada): mudar o fator de potência não altera a potência ativa entregue ao motor se a carga mecânica (torque/velocidade) permanecer a mesma. Assim P é considerado constante ao variar o fator de potência.

Passo 3

Calcular a potência ativa entregue ao motor na condição inicial ( \cos\varphi=1).
  • Como \cos\varphi=1, a potência ativa inicial é igual à potência aparente inicial:
P = \sqrt{3}\,V\,I.
  • Substituindo os valores (usando \sqrt{3}\approx1,732):
P = \sqrt{3}\cdot 230\cdot 40.
  • Calculando numericamente:
\sqrt{3}\cdot 230 \approx 398,36,
P \approx 398,36\cdot 40 = 15\,934,4\\ \mathrm{W}.
Portanto P \approx 15{,}934\\ \mathrm{kW}. (Esse valor de potência ativa permanece o mesmo após a mudança de fator de potência, pela hipótese acima.)

Passo 4

Determinar a nova corrente de armadura I' para \cos\varphi' = 0,85.
  • Usamos a relação
P = \sqrt{3}\,V\,I'\cos\varphi'.
  • Isolando I':
I'=\frac{P}{\sqrt{3}\,V\,\cos\varphi'}.
  • Mas como P=\sqrt{3}\,V\,I (do estado inicial com \cos\varphi=1), podemos simplificar:
I'=\frac{\sqrt{3}\,V\,I}{\sqrt{3}\,V\,\cos\varphi'}=\frac{I}{\cos\varphi'}.
  • Substituindo I=40\\ \mathrm{A} e \cos\varphi'=0,85:
I'=\frac{40}{0,85}=47,0588235\ldots\\ \mathrm{A}.
  • Arredondando de forma prática para a prova:
I'\approx 47{,}06\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Interpretação física e como proceder na prática (o “como fazer”).
  • Um motor síncrono permite controlar seu fator de potência variando a excitação do rotor (corrente de campo):
    • Se o rotor for superexcitado (maior corrente de campo), o motor fornece potência reativa à rede e opera com fator de potência leading (adiantado).
    • Se o rotor for subexcitado (menor corrente de campo), o motor absorve potência reativa da rede e opera com fator de potência lagging (atraso).
  • Como o enunciado pede \cos\varphi'=0,85 em atraso, a ação prática é: reduzir a excitação do rotor (sub-excitar) até que o ângulo de corrente corresponda a \cos\varphi'=0,85.
  • Na prática isso é feito ajustando a fonte de excitação (regulando a corrente de campo) através do painel de controle/controle de campo do motor síncrono, monitorando o fator de potência até atingir 0,85 lagging.
  • Observação de segurança/operacional: ao subexcitar aumenta-se a corrente de armadura (como vimos), e a máquina passa a puxar reativos — cuide dos limites térmicos e de tensão do sistema.

Passo 6

Cálculo auxiliar (interpretação em componentes da corrente e potência reativa gerada/consumida).
  • O ângulo correspondente a \cos\varphi'=0,85 é \varphi'=\operatorname{arccos}(0,85). Não é necessário calcular o ângulo para achar I', mas pode ajudar a entender os componentes:
\sin\varphi'=\sqrt{1-0,85^{2}}\approx 0,5268.
  • Com isso a componente reativa da corrente (quadratura) vale
I_Q = I'\sin\varphi' \approx 47{,}06\cdot 0{,}5268 \approx 24{,}79\\ \mathrm{A}.
  • A potência reativa absorvida pelo motor será
Q = \sqrt{3}\,V\,I_Q \approx 1{,}732\cdot 230\cdot 24{,}79 \approx 9\,880\\ \mathrm{VAr}.
(Isto confirma que, ao passar de fator de potência unitário para 0,85 em atraso, o motor passa a consumir reativos da rede.)

Passo 7

Resumo didático rápido (para memorizar e usar na prova).
  • Mantendo a potência ativa constante, a nova corrente ao mudar o fator de potência de 1 para \cos\varphi' é simplesmente
I'=\frac{I}{\cos\varphi'}.
  • Para obter fator de potência em atraso em um síncrono, reduzir a excitação (sub-excitar). Para fator adiantado, aumentar a excitação (super-excitar).
  • Resultado numérico final já calculado abaixo.

Resposta

Reduzir a excitação do rotor (sub-excitar) até que o motor opere com fator de potência 0,85 em atraso.
I'\approx 47{,}06\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados