Temos um motor síncrono de 208 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, 4 polos operando com fator de potência unitário ligado em Y e solicitando uma corrente de 50 A . Sua reatância síncrona é de 1,6 \Omega / fase. Nessas condições a corrente de campo é de 2,7 \mathrm{~A}. Considere que os efeitos de saturação são desprezíveis, de modo que a relação entre tensão de armadura e corrente de campo é linear.
a) Determine o valor da tensão de armadura Ea e do ângulo de carga;
b) Assumindo uma carga constante, qual devera ser a corrente de campo e o ângulo de carga para o motor operando com um fator de potência de 0,8 ad.
c) Se a corrente de excitação for mantida constante em 2,7, qual o limite de potência de estabilidade do motor? Qual seria o fator de potência do motor se operasse com sua potência limite?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Tensão de linha: 208\\ \mathrm{V}.
  • Rede: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Ligação em Y.
  • Número de polos: 4 (não será preciso para os cálculos pedidos).
  • Corrente de linha (e por fase, por ser Y): I_a=50\\ \mathrm{A} na situação inicial.
  • Reatância síncrona por fase: X_s=1,6\\ \Omega.
  • Na condição inicial (essa mesma de I_a=50\\ \mathrm{A} e fator de potência unitário) a corrente de excitação (campo) é I_f=2,7\\ \mathrm{A}.
  • Admitir linearidade entre tensão interna de armadura E_a e corrente de campo I_f (ou seja, E_a\propto I_f) e desprezar saturação.
O que é pedido:
a) Determinar o valor da tensão interna de armadura por fase E_a e o ângulo de carga (ângulo entre E_a e a tensão de terminal por fase V_t ) para as condições iniciais (fator de potência unitário, I_a=50\\ \mathrm{A}).
b) Mantendo a potência de carga constante (mesma potência entregue pelo motor), encontrar a corrente de campo I_f e o ângulo de carga quando o motor operar com fator de potência 0,8 adiantado.
c) Mantendo a corrente de excitação fixa em 2,7\\ \mathrm{A} (logo E_a fixa), determinar o limite de potência de estabilidade (potência máxima transmissível antes do “pull-out”) e o fator de potência do motor quando operar nessa potência limite.
Observações úteis que vou usar (explicadas e aplicadas passo a passo adiante):
  • Tensão de fase (terminal): \displaystyle V_t=\dfrac{208}{\sqrt{3}} (tensão linha-neutro).
  • Relação fasorial (modelo síncrono sem resistência de armadura significativa): \displaystyle E_a = V_t + j X_s I_a.
  • Potência ativa entregue pelo motor (por fase/global): \displaystyle P = 3 V_t I_a \cos\varphi (onde \varphi é o ângulo entre V_t e I_a).
  • Potência elétrica em função do ângulo de carga (lei do sincro): \displaystyle P = \dfrac{3 V_t E_a}{X_s}\sin\delta. O máximo ocorre quando \sin\delta=1 (i.e. \delta=90^\circ).

Passo 2

Explicando as ferramentas principais (aula rápida e prática, sem jargão pesado).
  1. O que significa \,E_a = V_t + j X_s I_a?
  • É a equação fasorial para a tensão interna (induzida) por fase no modelo simplificado do síncrono sem resistência significativa. Aqui:
    • \,E_a é a tensão interna (fase-to-neutral) induzida no enrolamento do rotor (proporcional à excitação),
    • \,V_t é a tensão terminal por fase (linha-neutro),
    • \,X_s é a reatância síncrona por fase,
    • \,I_a é a corrente de armadura por fase (igual à corrente de linha no sistema Y),
    • o fator j representa uma rotação de +90^\circ no plano fasorial (multiplicar por j equivale a somar 90^\circ à fase).
  1. Como usar a equação na prática:
  • Se conheço V_t (magnit. e referência de fase) e I_a (magnit. e ângulo relativo a V_t), calculo j X_s I_a, somo vetorialmente a V_t e obtenho E_a (módulo e ângulo). A partir de E_a posso obter o ângulo de carga \delta (ângulo de E_a medido em relação a V_t).
  1. Como ligar potência, corrente e fator de potência:
  • Potência ativa trifásica é \,P=3 V_t I_a \cos\varphi. Se a potência mecânica (carga) for mantida constante e o fator de potência mudar, a corrente muda para manter P fixo.
  1. Relação linear entre E_a e I_f:
  • Como o enunciado nos diz que saturação é desprezível, podemos escalar E_a proporcionalmente a I_f. Se I_f dobra, E_a dobra; se diminui, E_a diminui na mesma razão.

Passo 3

Cálculo da tensão de fase por terminal (base numérica que usaremos):
V_t=\dfrac{208}{\sqrt{3}}\approx 120,11\\ \mathrm{V}.
(uso V_t como referência de fase: V_t=120,11\angle 0^\circ.)

Passo 4

Resolução do item (a) — condição inicial: I_a=50\\ \mathrm{A} e fator de potência unitário.
  1. Interpretando fator de potência unitário:
  • Fator de potência unitário significa que I_a está em fase com V_t. Então podemos escrever
I_a = 50\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
  1. Calcular a queda reativa \,j X_s I_a:
j X_s I_a = j\cdot 1{,}6\cdot 50 = j80\\ \mathrm{V}.
Isto é um vetor puramente imaginário positivo (90°).
  1. Aplicar \,E_a = V_t + j X_s I_a:
E_a = 120{,}11 + j80.
Converter para forma polar (módulo e ângulo):
|E_a|=\sqrt{120{,}11^{2}+80^{2}}\approx 144{,}31\\ \mathrm{V},
\delta=\angle E_a=\arctan\!\left(\dfrac{80}{120{,}11}\right)\approx 33{,}69^\circ.
  1. Potência elétrica entregue nessa condição (verificação e uso posterior):
P = 3 V_t I_a \cos\varphi = 3\cdot 120{,}11\cdot 50\cdot 1 = 18\,016,5\\ \mathrm{W}\approx 18{,}02\\ \mathrm{kW}.
(uso esse valor como “mesma carga” nos itens seguintes.)
Observações didáticas rápidas:
  • O ângulo \delta é o ângulo entre E_a e V_t. Para o motor, E_a fica adiantado em relação a V_t por esse ângulo.
  • A relação P=\dfrac{3 V_t E_a}{X_s}\sin\delta também vale; aqui dá o mesmo resultado se usado.

Passo 5

Resolução do item (b) — mesma carga (mesma potência ativa), agora com fator de potência \,0,8 adiantado.
  1. A potência ativa a ser mantida é a do item (a):
P_{\text{carga}} \approx 18{,}016{,}5\\ \mathrm{W}.
  1. Relação entre P, I_a e \cos\varphi:
I_a = \dfrac{P}{3 V_t \cos\varphi}.
Aqui \cos\varphi=0{,}8 e, por ser adiantado, I_a tem ângulo positivo em relação a V_t.
  1. Calcular nova corrente de armadura:
I_a = \dfrac{18\,016{,}5}{3\cdot 120{,}11\cdot 0{,}8}\approx 62{,}45\\ \mathrm{A}.
E o ângulo do corrente (por ser adiantado):
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx 36{,}87^\circ,
portanto
I_a = 62{,}45\angle +36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.
  1. Calcular j X_s I_a. Primeiro o módulo X_s I_a = 1{,}6\cdot 62{,}45\approx 99{,}92\\ \mathrm{V}. Multiplicar por j acrescenta +90^\circ ao ângulo:
j X_s I_a \approx 99{,}92\angle (36{,}87^\circ + 90^\circ)=99{,}92\angle 126{,}87^\circ.
Convertendo para retangular (para somar a V_t):
j X_s I_a \approx -59{,}96 + j79{,}94\\ \mathrm{V}.
  1. Calcular E_a na nova condição:
E_a = V_t + j X_s I_a \approx (120{,}11 -59{,}96) + j79{,}94 = 60{,}15 + j79{,}94.
Módulo e ângulo:
|E_a|\approx \sqrt{60{,}15^{2}+79{,}94^{2}}\approx 100{,}04\\ \mathrm{V},
\delta=\angle E_a\approx \arctan\!\left(\dfrac{79{,}94}{60{,}15}\right)\approx 53{,}13^\circ.
  1. Determinar a corrente de excitação I_f usando linearidade E_a\propto I_f:
  • Sabendo que para a condição inicial E_{a0}\approx 144{,}31\\ \mathrm{V} correspondia a I_{f0}=2{,}7\\ \mathrm{A}, então
I_f = I_{f0}\cdot \dfrac{|E_a|}{|E_{a0}|}=2{,}7\cdot \dfrac{100{,}04}{144{,}31}\approx 1{,}87\\ \mathrm{A}.
Síntese do item (b):
  • Corrente de excitação necessária I_f\approx 1{,}87\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo de carga \delta\approx 53{,}13^\circ.
  • Corrente de armadura I_a\approx 62{,}45\angle +36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Resolução do item (c) — corrente de excitação mantida em 2{,}7\\ \mathrm{A} (logo E_a fixa na mesma condição inicial).
  1. Ao fixar I_f=2{,}7\\ \mathrm{A}, mantemos E_a igual ao valor do item (a):
|E_a| = |E_{a0}| \approx 144{,}31\\ \mathrm{V}.
  1. Limite de potência de estabilidade (quando \sin\delta=1, ou \delta=90^\circ):
P_{\text{lim}} = \dfrac{3 V_t E_a}{X_s}.
Substituindo numericamente:
P_{\text{lim}} \approx \dfrac{3\cdot 120{,}11\cdot 144{,}31}{1{,}6}\approx 32\,499\\ \mathrm{W}\approx 32{,}50\\ \mathrm{kW}.
(Essa é a potência elétrica máxima transmitível com aquela excitação antes do motor perder sincronismo.)
  1. Se o motor operasse exatamente nessa potência limite, qual seria o fator de potência?
  • No limite usamos \delta=90^\circ. Vamos achar a corrente de armadura resultante e seu ângulo para determinar o fator de potência.
Calcular Ia no caso \delta=90^\circ:
E_a = 144{,}31\angle 90^\circ = j144{,}31, \quad V_t = 120{,}11\angle 0^\circ.
j X_s I_a = E_a - V_t = -120{,}11 + j144{,}31.
I_a = \dfrac{E_a - V_t}{j X_s} = \dfrac{-120{,}11 + j144{,}31}{j\cdot 1{,}6}.
Usando 1/j=-j e operando:
I_a \approx \dfrac{144{,}31}{1{,}6} + j\dfrac{120{,}11}{1{,}6}\approx 90{,}19 + j75{,}07\\ \mathrm{A}.
Módulo e ângulo:
|I_a|\approx \sqrt{90{,}19^{2}+75{,}07^{2}}\approx 117{,}4\\ \mathrm{A},
\varphi = \angle I_a \approx \arctan\!\left(\dfrac{75{,}07}{90{,}19}\right)\approx 39{,}7^\circ.
  • Como a componente imaginária de I_a é positiva e a real também, o corrente está adiantada em relação a V_t (portanto fator de potência adiantado).
Por fim, o fator de potência é
\cos\varphi \approx \cos(39{,}7^\circ)\approx 0{,}77\\ \text{(adiantado)}.
Resumo numérico do item (c):
  • Limite de potência estável P_{\text{lim}}\approx 32{,}50\\ \mathrm{kW}.
  • Corrente de armadura nesse ponto |I_a|\approx 117{,}4\\ \mathrm{A} com \varphi\approx 39{,}7^\circ (adiantado).
  • Fator de potência aproximadamente 0{,}77 adiantado.

Resposta

(a) E_a\approx 144{,}31\\ \mathrm{V}, \delta\approx 33{,}69^\circ.
(b) I_f\approx 1{,}87\\ \mathrm{A}, \delta\approx 53{,}13^\circ.
(c) P_{\text{lim}}\approx 32{,}50\\ \mathrm{kW}. Fator de potência nesse ponto \approx 0{,}77 (adiantado).

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