Ar na temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C} e umidade relativa de 65 \% é aquecido por uma resistência elétrica até a temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}. Determine a umidade relativa no final de aquecimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura inicial: \,T_1 = 10^\circ\mathrm{C}.
    • Umidade relativa inicial: \,\mathrm{RH}_1 = 65\%.
    • Temperatura final após aquecimento: \,T_2 = 40^\circ\mathrm{C}.
    • Suposição implícita: o ar é aquecido sem adição ou remoção de vapor d’água (isto é, não há evaporação ou condensação no processo), presumindo-se pressão atmosférica aproximadamente constante.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a umidade relativa final \,\mathrm{RH}_2 quando o ar estiver a \,40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Ideia física e relação que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • Quando aquecemos o ar sem adicionar ou remover vapor, a quantidade de vapor por unidade de massa de ar seco (mistura/umidade absoluta) permanece constante. Em psicrometria isso significa que a pressão parcial do vapor d’água e permanece praticamente constante se a pressão total do ar permanecer aproximadamente constante (condição usual à pressão atmosférica). Em linguagem simples: o ar “continua contendo a mesma quantidade de vapor”, mas a pressão de saturação muda com a temperatura, então a umidade relativa muda.
  • Definição de umidade relativa:
\mathrm{RH}=\frac{e}{e_s(T)}\times 100\%
onde
  • e é a pressão parcial real do vapor d’água no ar (em kPa),
  • e_s(T) é a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T (em kPa).
  • Portanto, o plano é:
    1. Calcular e_s(T_1) em \,10^\circ\mathrm{C}.
    2. Calcular e = \mathrm{RH}_1 \cdot e_s(T_1) (pressão parcial real do vapor, que ficará constante).
    3. Calcular e_s(T_2) em \,40^\circ\mathrm{C}.
    4. Calcular \mathrm{RH}_2 = e / e_s(T_2)\times100\%.

Passo 3

Fórmula prática para a pressão de saturação: Tetens (boa precisão para temperaturas entre cerca de -40^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C}).
A fórmula de Tetens é
e_s(T)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa), com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\).}
Explico as partes:
  • 0{,}61078 é um coeficiente em kPa.
  • o exponencial \exp(\cdot) usa a temperatura T em graus Celsius na razão mostrada.
  • Resultado é a pressão de vapor de saturação em kPa.
Vamos aplicar esta fórmula em T_1=10^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo de e_s(T_1) em 10^\circ\mathrm{C}.
\frac{17{,}27\cdot 10}{10+237{,}3}=\frac{172{,}7}{247{,}3}\approx 0{,}6985,
\exp(0{,}6985)\approx 2{,}010,
e_s(10^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\times 2{,}010\approx 1{,}228\\ \mathrm{kPa}.
Agora a pressão parcial real do vapor no ar (mantida constante durante o aquecimento) é
e=\mathrm{RH}_1\cdot e_s(10^\circ\mathrm{C})=0{,}65\times 1{,}228\\ \mathrm{kPa}\approx 0{,}798\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Cálculo de e_s(T_2) em 40^\circ\mathrm{C} usando a mesma fórmula.
\frac{17{,}27\cdot 40}{40+237{,}3}=\frac{690{,}8}{277{,}3}\approx 2{,}492,
\exp(2{,}492)\approx 12{,}10,
e_s(40^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\times 12{,}10\approx 7{,}386\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Cálculo da umidade relativa final \mathrm{RH}_2.
\mathrm{RH}_2=\frac{e}{e_s(40^\circ\mathrm{C})}\times 100\%=\frac{0{,}798\\ \mathrm{kPa}}{7{,}386\\ \mathrm{kPa}}\times 100\%.
Fazendo a divisão:
\frac{0{,}798}{7{,}386}\approx 0{,}1081,
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\mathrm{RH}_2\approx 10{,}8\%.
Interpretação curta e ânimo: ao aquecer o ar de 10^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C} sem adicionar vapor, a umidade relativa cai muito — aqui para cerca de 10{,}8\%. Isso acontece porque a capacidade do ar de “suportar” vapor aumenta muito com a temperatura.

Resposta

10{,}8\%

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