Um cotovelo redutor é usado para defletir
escoamento de água a uma taxa de
em um tubo na horizontal, ao mesmo tempo que o acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal de entrada e saída é
e
, respectivamente. A diferença de elevação entre os centros de entrada e saída é 30 cm . Determine a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar, sabendo que o mesmo está instalado no plano horizontal.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Vazão mássica:
. - Área da seção de entrada:
. - Área da seção de saída:
. - O escoamento é defletido em
no plano horizontal. - Diferença de elevação entre centros de entrada e saída:
(assumirei que a entrada está mais alta que a saída; isso será usado no Bernoulli para obter a pressão na entrada). - O cotovelo descarrega para a atmosfera na saída (pressão de saída igual à pressão atmosférica).
- O cotovelo está instalado de modo que a deflexão ocorre no plano horizontal; portanto queremos a força de ancoragem necessária no plano horizontal (resultante horizontal que mantém o cotovelo no lugar).
O que o problema pede:
- Determinar a força de ancoragem necessária (resultante horizontal), magnitude e direção no plano horizontal.
Hipóteses que vamos usar (comunicadas aqui para ficar claro):
- Água com densidade
. - Escoamento estacionário, incompressível, perfis de velocidade uniformes nas seções (1D).
- Desprezamos perdas por atrito entre entrada e saída (usamos Bernoulli entre as seções internas).
- Tomaremos pressão de saída como referência de pressão (gauge) igual a zero:
(pressão atmosférica em gauge).
Passo 2
Calcular a vazão volumétrica e as velocidades nas seções usando a continuidade.
A vazão volumétrica é
Substituindo,
Velocidade na entrada:
Velocidade na saída:
Comentário didático: a continuidade
vem de conservação de massa para escoamento incompressível; conhecendo
obtemos
e assim as velocidades em cada seção.
Passo 3
Determinar a diferença de pressão entre entrada e saída usando Bernoulli (sem perdas), incluindo a diferença de elevação.
A forma de Bernoulli entre a seção 1 (entrada) e a seção 2 (saída) é
Rearranjando para
,
Como
, temos
. Substituindo valores (
,
):
Calculemos passo a passo:
Portanto
Como usaremos pressões em termos de gauge e tomamos
(saída à atmosfera), obtemos
em gauge:
Didática: Bernoulli relaciona pressão estática, energia cinética por unidade de massa e energia potencial por unidade de massa entre duas secções em escoamento ideal. Aqui a grande diferença de velocidade (aceleração forte) gera um aumento significativo de pressão na entrada, compensando a maior energia cinética na saída.
Passo 4
Formular a equação de quantidade de movimento linear (momentum) para o volume de controle que envolve o fluido dentro do cotovelo e as duas seções. Definimos eixos no plano horizontal:
- Eixo
: direção da velocidade na entrada (para a direita). - Eixo
: direção no plano horizontal perpendicular ao eixo ; a saída fica em ângulo em relação a .
A equação vetorial de momento (estado estacionário, 1D nas seções) é
onde
inclui as forças de pressão nas seções, o peso do fluido (componente vertical, que não contribui no plano horizontal) e a reação de ancoragem
que queremos determinar.
Reescrevendo isolando
:
onde
é a força resultante de pressão nas seções (considerando sinais com normais para fora do volume de controle) e
é a força peso (que tem só componente vertical). Como queremos apenas a força de ancoragem no plano horizontal, a componente vertical da reação será omitida aqui (ou considerada por apoios verticais). Logo
não entra nas componentes horizontais.
Agora expressar as componentes horizontais de cada termo:
Velocidades vetoriais:
Força de pressão resultante (componentes no plano horizontal):
A contribuição de pressão nas seções, usando (gauge), é
A contribuição de pressão nas seções, usando
Com
isso reduz para
(Obs.: o sinal aparece porque a normal da seção 1 aponta para fora do volume no sentido negativo de
.)
Portanto, as componentes horizontais da reação são
Com
temos
Passo 5
Calcular numericamente as componentes de
.
Primeiro o termo de variação de momento:
Termo de pressão na entrada:
Logo
Componente
:
Passo 6
Calcular magnitude e direção da força de ancoragem no plano horizontal.
Magnitude:
Direção (ângulo
medido a partir do eixo de entrada
, positivo para o sentido do desvio):
Interpretação: a ancoragem deve resistir a uma força de aproximadamente
dirigida a pouco mais de
acima da direção de entrada (isto é, levemente na direção do desvio).