Em qual temperatura, aproximadamente, uma amostra de ferro gama teria que ser carbonetada durante 2 h para produzir o mesmo resultado de difusão que o obtido a 900^circ C durante 15 h ? Dados: difusividade do C no ferro gama a 900^circ C é de 5,9 times 10^-12 m^2 / s; energia de ativação de 148 KJ / mol e constante pré exponencial de 2,310^-5 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá nos perguntando: “Se a gente carbonetar ferro gama a 900 °C por 15 h e conseguir certa difusão de carbono, a que temperatura precisaríamos carbonetar o ferro gama por só 2 h pra ter exatamente a mesma difusão?”
Conteúdo: difusão linear (lei de Fick simplificada) e equação de Arrhenius para a difusividade.
O que vamos usar:
  1. A ideia de que o quanto o carbono se difunde depende de D(T) ;=; D0,e^-Q/(R,T) (onde é a difusividade e o tempo).
  2. A fórmula de Arrhenius para :
Dados:
  • @ 900 °C (1173 K)

Passo 2

Primeiro, relacionamos o “efeito de difusão” com D1,t1 ;=; D2,t2 . Se queremos o mesmo resultado, então
Desse jeito a distância média quadrática percorrida pelo carbono é a mesma.

Passo 3

Isolamos D2 ;=;D1,t1t2 ;=;5,9times10^-12,m^2/s;times;15,h 2,h ;=;5,9times10^-12times7,5 ;=;4,425times10^-11,m^2/s :

Passo 4

Agora usamos a equação de Arrhenius para achar a temperatura D2 ;=;D0,e^-Q/(R,T2) que gera essa difusividade e^-Q/(R,T2) = D2D0 :
-QR,T2 = ln!gl(D2D0gr)
Passo a passo:
  1. Dividimos ambos os lados por T2 = -QR ,ln!l(D2/D0r) :
  2. Tomamos ln dos dois lados:
  3. Isolamos :

Passo 5

Substituindo números (tudo em unidades SI):
ln!l(tfracD2D0r) = ln!l(tfrac4,425times10^-112,3times10^-5r) = ln(1,924times10^-6) approx -13,162
Então
T2 = -148,000 J/mol 8,314 J/(molcdot K);times;(-13,162) approx 148,000109,48 approx 1,352 K

Resposta

Convertendo para °C:
T2 approx 1,352 K - 273 approx 1,079 ^circ C
Logo, precisaríamos carbonetar a cerca de 1 080 °C por 2 h para obter o mesmo grau de difusão.

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