Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de carbono de 0,30 % p a 4 mm da superfície de uma liga ferro-carbono contendo inicialmente 0,10 % p C. A concentração na superfície deve ser mantida em 0,90 % p C e o tratamento deve ser conduzido a 1000^circ C. Dado que D=5,35 times 10^-11 m^2 / s. Considere que a difusão é unidimensional e ocorre num sólido semi-infinito.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e qual conteúdo vamos usar.
Enunciado em miúdos: queremos saber quanto tempo leva pra que, a 4 mm da superfície de uma peça de aço (semi-infinita), a % de carbono passe de 0,10 %p (inicial) a 0,30 %p, mantendo a superfície sempre em 0,90 %p de C. Isso tudo a 1000 °C, com difusividade D = 5,35×10⁻¹¹ m²/s.
Conteúdo: é uma difusão unidimensional num sólido semi-infinito, regida pela solução da segunda lei de Fick usando função erro complementar (erfc). Vamos precisar da fórmula

Passo 2

Escrevendo a equação para achar t. A gente tem
Isolando o argumento da erfc:

Passo 3

Agora colocamos os valores:
C_i = 0{,}10 %p,
C_s = 0{,}90 %p,
C(x,t) = 0{,}30 %p,
x = 4 mm = 0{,}004 m.
O quociente fica
C(x,t)-CiCs - Ci = 0,30 - 0,100,90 - 0,10 = 0,200,80 = 0,25
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Passo 4

Precisamos de . Sabendo tabelas ou calculadora:
Então
erfc^-1(0,25)approx 0,813

Passo 5

Isolando t:
2raizD,t = 0,0040,813 Longrightarrow raizt = 0,0042,0,813raizD
t = 0,004^24,(0,813)^2,D = 1,6times10^-54 times 0,661 times 5,35times10^-11 approx 1,13times10^5;s

Resposta

O tempo de carbonetação é cerca de
t approx 1,13times10^5,s ;approx;31,4;horas ;approx;1,31;dias

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