Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 0^circ C até 100^circ C, seu comprimento varia de 0,23 %. (a) Determine a variação da densidade volumétrica (massa/volume) do cilindro. (b) Supondo que a dilatação ocorra a uma taxa constante, obtenha o coeficiente de dilatação térmica linear do material.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a gente entender que quando um cilindro de metal é aquecido de 0 °C até 100 °C, ele estica um pouquinho: o comprimento aumenta 0,23 %. A matéria envolvida é dilatação térmica (linear e volumétrica) e como isso afeta a densidade (massa/volume). Para resolver, precisamos:
  1. A relação entre expansão linear e volumétrica;
  2. A definição de densidade (ρ = m/V) e como varia se o volume muda;
  3. A fórmula do coeficiente de dilatação linear, que liga ΔL/L com ΔT.

Passo 2

Vamos achar a variação da densidade.
  1. Primeiro, a expansão linear dada é ΔL/L = 0,23 % = 0,0023.
  2. Para um material isotrópico, a expansão volumétrica relativa ΔV/V é aproximadamente três vezes a expansão linear:
ΔVV ;=; 3;ΔLL;=;3 times 0,0023;=;0,0069;(ou 0,69%)
  1. Como a massa não muda ao esquentar, a densidade ρ = m/V vai variar só porque o volume mudou. A variação relativa da densidade é
Δρρ ;=;Δ(m/V)m/V ;=;-ΔVV ;=;-0,0069
ou seja, –0,69 %.

Passo 3

Agora o coeficiente de dilatação linear α. Sabemos que
ΔLL ;=; α;ΔT
Aqui ΔL/L = 0,0023 e ΔT = 100 °C, então
α ;=;ΔL/LΔT ;=;0,0023100 ;=;2,3times 10^-5;(^circC^-1)

Resposta

(a) A densidade varia em –0,0069 (–0,69 %).
(b) O coeficiente de dilatação linear é .

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