Colocamos 330 mL de água com temperatura de 25,0^circ C em um cilindro fechado de isopor com isolamento térmico perfeito. Adicionamos 50,0 g de gelo com temperatura inicial de -1,00 ^circ C no cilindro que contém água. Supondo que não ocorre troca de calor com o ar ambiente;
Qual é a variação da entropia do sistema no copo antes e depois do equilíbrio térmico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema isolado termicamente, onde temos água e gelo no mesmo cilindro. A gente quer descobrir como a entropia desse sistema muda quando o gelo é adicionado à água e tudo atinge o equilíbrio térmico. Para resolver isso, vamos precisar entender de termodinâmica, especialmente conceitos como calor, mudança de fase e entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos:
  • Água: 330 mL a 25,0°C
  • Gelo: 50,0 g a -1,00°C
Como o cilindro está isolado termicamente, nenhuma troca de calor com o ambiente ocorre. Então, a energia térmica total do sistema é conservada.

Passo 3

Vamos converter os volumes e massas para unidades mais úteis. Sabemos que a densidade da água é aproximadamente 1 g/mL, então:
  • Massa da água: 330 mL × 1 g/mL = 330 g
  • Massa do gelo: Já está dada, 50,0 g

Passo 4

Agora, precisamos calcular a quantidade de calor necessária para levar o gelo de -1,00°C até a temperatura de fusão (0°C), derreter o gelo e, se houver, aquecer a água resultante até o equilíbrio térmico.
Vamos precisar das seguintes propriedades:
  • Calor específico da água: $ c_{água} = 4,18 , J/g°C $
  • Calor específico do gelo: $ c_{gelo} = 2,09 , J/g°C $
  • Calor de fusão do gelo: $ L_f = 334 , J/g $

Passo 5

Vamos calcular o calor que o gelo precisa absorver para chegar a 0°C:
Q1 = m>=lo times c>=lo times De

Passo 6

Em seguida, o calor necessário para derreter o gelo:
Q2 = m>=lo times Lf = 50,0 , g times 334 , J/g = 16.700 , J

Passo 7

Agora, vamos ver se a água tem calor suficiente para realizar todo esse processo. O calor que a água pode ceder ao esfriar de 25,0°C até a temperatura final $ T_f $:
Tf ááá
Queremos saber se $ Q_{água} $ é maior ou igual a $ Q_1 + Q_2 = 104,5 + 16.700 = 16.804,5 , J $
Vamos igualar:
Qágua = mágua times cágua times (Ti - Tf) = 330 , g times 4,18 , J/g°C times (25,0 - Tf)
Qágua
Q1 + Q2 = 104,5 + 16.700 = 16.804,5 , J
330 times 4,18 times (25 - Tf) = 16.804,5
Isso significa que não há calor suficiente na água para derreter todo o gelo. Então, parte do gelo derrete e a temperatura final será 0°C.

Passo 8

Calculamos agora quanto gelo realmente derrete. Primeiro, o calor total disponível da água para aquecer o gelo:
Qágua = 330 times 4,18 times (25 - 0) = 330 times 4,18 times 25 = 34.485 , J á
Desses, 104,5 J vão para aquecer o gelo de -1,00°C até 0°C. O restante é:
Qrestante = 34.485 - 104,5 = 34.380,5 , J
Esse calor é usado para derreter parte do gelo:
mderretido = QrestanteLf = 34.380,5334 approx 103 , g
Mas como temos apenas 50,0 g de gelo, na verdade, todo o gelo derrete e sobra calor para aquecer um pouco mais a água. Portanto, a temperatura final será maior que 0°C.
(Revisando o passo anterior, percebemos que todo o gelo pode derreter, então precisamos recalcular considerando que tudo derrete e a temperatura final aumenta.)

Passo 9

Vamos recalcular considerando que todo o gelo derrete:
  1. Calor para levar o gelo a 0°C: 104,5 J
  2. Calor para derreter o gelo: 16.700 J
  3. Total necessário: 16.804,5 J
Comparando com o calor disponível da água:
Qágua = 330 times 4,18 times (25 - Tf) á
Igualando ao necessário:
330 times 4,18 times (25 - Tf) = 16.804,5
1.379,4 times (25 - Tf) = 16.804,5
25 - Tf = 16.804,51.379,4 approx 12,2
Tf = 25 - 12,2 = 12,8 , °C
Então, o gelo derrete completamente e a temperatura final do sistema é 12,8°C.

Passo 10

Agora, vamos calcular a variação de entropia do sistema. A entropia é uma medida da desordem do sistema, e sua variação pode ser calculada considerando os calores trocados divididos pela temperatura correspondente.
A variação total de entropia ($ \Delta S $) será a soma das variações da água e do gelo:
Deá
Vamos calcular cada parte:
Para a água:
A água esfria de 25,0°C a 12,8°C. A variação de entropia é:
De=lo ááá
Convertendo temperaturas para Kelvin:
De
Ti = 25 + 273,15 = 298,15 , K
Tf = 12,8 + 273,15 = 285,95 , K á
Deá
Para o gelo que derreteu:
O gelo passa de -1,00°C a 12,8°C, passando por três etapas:
  1. Aquecer o gelo de -1,00°C a 0°C:
De
T1 = -1 + 273,15 = 272,15 , K
T2 = 0 + 273,15 = 273,15 , K
  1. Derreter o gelo a 0°C:
De
  1. Aquecer a água derretida de 0°C a 12,8°C:
Deáá
De
Então, a variação total para o gelo:
De

Resposta

A variação total da entropia do sistema é aproximadamente $ \Delta S = +15,8 , J/K $, indicando um aumento na desordem após o equilíbrio térmico.

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