A temperatura T(t) de um corpo obedece à lei
\frac{d T}{d t}=-k(T-25)
Um objeto inicialmente a 120^{\circ} \mathrm{C} esfria para 80^{\circ} \mathrm{C} em 10 minutos.
a) Determine T(t);
b) Estime o tempo necessário para atingir 40^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e informações iniciais. O que ele pede:
  • (a) Determinar T(t), a temperatura do objeto em função do tempo t.
  • (b) Estimar o tempo necessário para que T(t) atinja 40^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas (pegas do enunciado):
  • A equação diferencial é \dfrac{dT}{dt}=-k(T-25).
  • Temperatura ambiente (valor para o qual o objeto tende): 25^\circ\mathrm{C}.
  • Condição inicial no instante t=0: T(0)=120^\circ\mathrm{C}.
  • Informação adicional: T(10)=80^\circ\mathrm{C} (ou seja, após 10 minutos a temperatura é 80^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial passo a passo. Primeiro reorganizamos para separar as variáveis (técnica chamada separação de variáveis): escrevemos todos os termos com T num lado e todos os termos com t no outro. A equação é
\frac{dT}{dt}=-k(T-25).
Dividindo ambos os lados por T-25 (assumindo T\neq25 enquanto integramos) e multiplicando por dt, obtemos
\frac{dT}{T-25}=-k\,dt.
Isto coloca tudo com T à esquerda e tudo com t à direita, pronto para integrar.

Passo 3

Integramos ambos os lados. A integral de \dfrac{1}{T-25} em relação a T é o logaritmo natural. Assim,
\int \frac{dT}{T-25}=\int -k\,dt
leva a
\ln|T-25|=-k t + C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Agora exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|T-25|=e^{-k t + C_1}=C\,e^{-k t},
onde C=e^{C_1}>0. Como nas condições dadas T(0)=120>25, a quantidade T-25 é positiva inicialmente, então podemos retirar o valor absoluto e escrever
T(t)=25 + C e^{-k t}.
Esta é a forma geral da solução com duas constantes: C e k. Vamos determinar C e k com as condições fornecidas.

Passo 4

Aplicando a condição inicial T(0)=120:
120 = 25 + C e^{-k\cdot 0}=25 + C \quad\Rightarrow\quad C=120-25=95.
Logo a solução fica
T(t)=25 + 95\,e^{-k t}.

Passo 5

Agora usamos a informação T(10)=80 para encontrar k. Substituindo t=10 e T(10)=80 em T(t):
80=25 + 95\,e^{-10k}.
Passos algébricos:
80-25=95\,e^{-10k}\quad\Rightarrow\quad 55=95\,e^{-10k}.
Dividindo ambos os lados por 95,
e^{-10k}=\frac{55}{95}=\frac{11}{19}.
Tomando logaritmo natural:
-10k=\ln\!\left(\frac{11}{19}\right)\quad\Rightarrow\quad k=-\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{11}{19}\right)=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{19}{11}\right).
Esse valor de k é positivo (pois \dfrac{19}{11}>1). Podemos dar uma aproximação numérica:
\ln\!\left(\frac{19}{11}\right)\approx 0,546544\quad\Rightarrow\quad k\approx 0,0546544\\ \text{(por minuto)}.

Passo 6

Substituindo C=95 e mantendo k na forma exata ou numérica, a solução final pode ser escrita de duas formas equivalentes úteis:
forma com exponencial:
T(t)=25 + 95\,e^{-k t},\quad k=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{19}{11}\right)\approx 0,0546544.
forma sem usar k explicitamente (usando e^{-10k}=\tfrac{11}{19}):
T(t)=25 + 95\left(\frac{11}{19}\right)^{\!t/10}.
Ambas equivalem à mesma função; a segunda é prática porque usa apenas números racionais e potências.

Passo 7

Agora parte (b): determinar o tempo t tal que T(t)=40. Partimos da solução e resolvemos para t:
40=25 + 95\,e^{-k t}.
Isolando o exponencial:
40-25=95\,e^{-k t}\quad\Rightarrow\quad 15=95\,e^{-k t}\quad\Rightarrow\quad e^{-k t}=\frac{15}{95}=\frac{3}{19}.
Tomando logaritmo natural:
-k t=\ln\!\left(\frac{3}{19}\right)\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{3}{19}\right)=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{19}{3}\right).
Substituindo k=\dfrac{1}{10}\ln\!\left(\dfrac{19}{11}\right) obtém-se uma forma exata conveniente:
t=10\cdot\frac{\ln\!\left(\tfrac{19}{3}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{19}{11}\right)}.
Agora a aproximação numérica. Calculando os logaritmos:
\ln\!\left(\frac{19}{3}\right)\approx 1,845827,\qquad \ln\!\left(\frac{19}{11}\right)\approx 0,546544,
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t\approx 10\cdot\frac{1,845827}{0,546544}\approx 33{,}79\\ \text{minutos}.

Resposta

(a) T(t)=25 + 95\left(\dfrac{11}{19}\right)^{\!t/10}=25 + 95\,e^{-k t},\quad k=\dfrac{1}{10}\ln\!\left(\dfrac{19}{11}\right)\approx 0,0546544.
(b) t\approx 33{,}79\\ \text{minutos}

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