A temperatura
de um corpo obedece à lei
Um objeto inicialmente a
esfria para
em 10 minutos.
a) Determine
;
b) Estime o tempo necessário para atingir
.
a) Determine
b) Estime o tempo necessário para atingir
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e informações iniciais. O que ele pede:
- (a) Determinar
, a temperatura do objeto em função do tempo . - (b) Estimar o tempo necessário para que
atinja .
Informações dadas (pegas do enunciado):
- A equação diferencial é
. - Temperatura ambiente (valor para o qual o objeto tende):
. - Condição inicial no instante
: . - Informação adicional:
(ou seja, após minutos a temperatura é ).
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial passo a passo. Primeiro reorganizamos para separar as variáveis (técnica chamada separação de variáveis): escrevemos todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro. A equação é
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
enquanto integramos) e multiplicando por
, obtemos
Isto coloca tudo com
à esquerda e tudo com
à direita, pronto para integrar.
Passo 3
Integramos ambos os lados. A integral de
em relação a
é o logaritmo natural. Assim,
leva a
onde
é a constante de integração. Agora exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
. Como nas condições dadas
, a quantidade
é positiva inicialmente, então podemos retirar o valor absoluto e escrever
Esta é a forma geral da solução com duas constantes:
e
. Vamos determinar
e
com as condições fornecidas.
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Logo a solução fica
Passo 5
Agora usamos a informação
para encontrar
. Substituindo
e
em
:
Passos algébricos:
Dividindo ambos os lados por
,
Tomando logaritmo natural:
Esse valor de
é positivo (pois
). Podemos dar uma aproximação numérica:
Passo 6
Substituindo
e mantendo
na forma exata ou numérica, a solução final pode ser escrita de duas formas equivalentes úteis:
forma com exponencial:
forma sem usar
explicitamente (usando
):
Ambas equivalem à mesma função; a segunda é prática porque usa apenas números racionais e potências.
Passo 7
Agora parte (b): determinar o tempo
tal que
. Partimos da solução e resolvemos para
:
Isolando o exponencial:
Tomando logaritmo natural:
Substituindo
obtém-se uma forma exata conveniente:
Agora a aproximação numérica. Calculando os logaritmos:
logo
Resposta
(a)
(b)