Calcule a integral dupla de
sobre
, onde:
é a região do plano limitada pelos círculos
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A função a integrar é
. - A região
é “limitada pelos círculos” cujas equações são e - Informações geométricas extraídas das equações:
- O primeiro círculo tem centro em
e raio . - O segundo círculo tem centro em
e raio . - A distância entre os centros é
, que é igual a . Portanto o círculo menor está inteiramente dentro do círculo maior e é internamente tangente a ele (tangência em um ponto).
- O primeiro círculo tem centro em
- Interpretação da região
(seguindo a descrição “limitada pelos dois círculos”): é a região que fica dentro do círculo de raio (centro na origem) e fora do disco de raio centrado em . Em forma de desigualdades: - O enunciado pede calcular a integral dupla
Passo 2
Escolha do método e mudança de coordenadas (aula rápida sobre polares).
- Um método natural aqui é usar coordenadas polares porque a função
fica muito simples em polares: se , então Além disso, a equação do círculo centrado na origem vira , e a equação do círculo centrado em transforma-se em uma relação simples entre e (ver abaixo). - Lembrete sobre a transformação polar:
- As variáveis são
e (ângulo). - A diferencial de área é
(esse extra é o jacobiano da mudança de coordenadas). - Assim, a integranda
vira .
- As variáveis são
- Agora as fronteiras em polares:
- O círculo
vira - O círculo
em polares: Desenvolvendo:
- O círculo
Como \(r\ge 0\), a fronteira não-trivial é
\[r = 2\cos\theta.\]
Observação: \(r=2\cos\theta\) só é não negativa quando \(\cos\theta\ge 0\), ou seja para \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\). Isso reflete o facto de o pequeno disco (centro em \((1,0)\)) ocupar apenas as direções com \(\cos\theta\ge0\).
- Portanto, a descrição radial de
em polares é: - Para
: varia de até . - Para
: a curva é negativa, então o disco menor não atinge essas direções e o interior do pequeno disco não existe ao longo desses raios; assim vai de até .
- Para
- Conclusão do passo: a integral dupla em polares fica (vamos escrevê-la explicitamente no próximo passo e calcular).
Passo 3
Escrever e separar a integral em duas faixas de
(montagem da integral).
- Como explicado, a integral é
- Separando nas duas faixas:
- Agora integramos primeiro em
. A primitiva de em é . Então: E - Substituindo nas integrais em
:
Passo 4
Cálculo das integrais em
.
- A segunda integral é imediata:
Logo essa parte contribui com . - Para a primeira integral temos
- A primeira parte é
. - A segunda parte usa que
é função par, portanto Calcule por substituição: escrevendo e tomando , obtemos Portanto - Assim
- A primeira parte é
- Multiplicando pelo fator
desta parte obtemos
Passo 5
Somar as contribuições e simplificar o resultado final.
- Soma das duas partes:
- Colocando em denominador comum
: - Fatorando
: