Calcule a integral dupla de f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre D, onde:
D é a região do plano limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e}(x-1)^{2}+y^{2}=1;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função a integrar é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é “limitada pelos círculos” cujas equações são x^{2}+y^{2}=4e (x-1)^{2}+y^{2}=1.
  • Informações geométricas extraídas das equações:
    • O primeiro círculo tem centro em (0,0) e raio 2.
    • O segundo círculo tem centro em (1,0) e raio 1.
    • A distância entre os centros é 1, que é igual a 2-1. Portanto o círculo menor está inteiramente dentro do círculo maior e é internamente tangente a ele (tangência em um ponto).
  • Interpretação da região D (seguindo a descrição “limitada pelos dois círculos”): D é a região que fica dentro do círculo de raio 2 (centro na origem) e fora do disco de raio 1 centrado em (1,0). Em forma de desigualdades: D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\\ \text{ e }\\ (x-1)^{2}+y^{2}\ge 1\}.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.

Passo 2

Escolha do método e mudança de coordenadas (aula rápida sobre polares).
  • Um método natural aqui é usar coordenadas polares porque a função \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica muito simples em polares: se x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta, então \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.Além disso, a equação do círculo centrado na origem vira r=2, e a equação do círculo centrado em (1,0) transforma-se em uma relação simples entre r e \theta (ver abaixo).
  • Lembrete sobre a transformação polar:
    • As variáveis são r\ge0 e \theta (ângulo).
    • A diferencial de área é dA = r\,dr\,d\theta (esse r extra é o jacobiano da mudança de coordenadas).
    • Assim, a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA vira r \cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Agora as fronteiras em polares:
    • O círculo \;x^{2}+y^{2}=4\; vira \;r=2.
    • O círculo \;(x-1)^{2}+y^{2}=1\; em polares: (r\cos\theta -1)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = 1.Desenvolvendo: r^{2}\cos^{2}\theta -2r\cos\theta +1 + r^{2}\sin^{2}\theta = 1,
r^{2} -2r\cos\theta +1 = 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-2r\cos\theta=0,
r(r-2\cos\theta)=0.
Como \(r\ge 0\), a fronteira não-trivial é
\[r = 2\cos\theta.\]
Observação: \(r=2\cos\theta\) só é não negativa quando \(\cos\theta\ge 0\), ou seja para \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\). Isso reflete o facto de o pequeno disco (centro em \((1,0)\)) ocupar apenas as direções com \(\cos\theta\ge0\).
  • Portanto, a descrição radial de D em polares é:
    • Para \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]: r varia de r_{\text{inner}}=2\cos\theta até r_{\text{outer}}=2.
    • Para \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}]: a curva r=2\cos\theta é negativa, então o disco menor não atinge essas direções e o interior do pequeno disco não existe ao longo desses raios; assim r vai de 0 até 2.
  • Conclusão do passo: a integral dupla em polares fica (vamos escrevê-la explicitamente no próximo passo e calcular).

Passo 3

Escrever e separar a integral em duas faixas de \theta (montagem da integral).
  • Como explicado, a integral é \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=\text{faixas}} \int_{r=r_{\text{inner}}(\theta)}^{r_{\text{outer}}(\theta)} r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Separando nas duas faixas: \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \int_{r=2\cos\theta}^{2} r^{2}\,dr\,d\theta + \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}} \int_{r=0}^{2} r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Agora integramos primeiro em r. A primitiva de r^{2} em r é \dfrac{r^{3}}{3}. Então: \int_{2\cos\theta}^{2} r^{2}\,dr = \left[\dfrac{r^{3}}{3}\right]_{r=2\cos\theta}^{r=2} = \dfrac{2^{3}}{3} - \dfrac{(2\cos\theta)^{3}}{3} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{8\cos^{3}\theta}{3} = \dfrac{8}{3}\bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr).E \int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \left[\dfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3}.
  • Substituindo nas integrais em \theta: \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \dfrac{8}{3}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta + \dfrac{8}{3}\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}} 1\,d\theta.

Passo 4

Cálculo das integrais em \theta.
  • A segunda integral é imediata: \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}} 1\,d\theta = \left.\theta\right|_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}} = \pi.Logo essa parte contribui com \dfrac{8}{3}\pi.
  • Para a primeira integral temos \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,d\theta \;-\; \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{3}\theta\,d\theta.
    • A primeira parte é \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,d\theta = \pi.
    • A segunda parte usa que \cos^{3}\theta é função par, portanto \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{3}\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{3}\theta\,d\theta.Calcule \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{3}\theta\,d\theta por substituição: escrevendo \cos^{3}\theta=\cos\theta(1-\sin^{2}\theta) e tomando u=\sin\theta,\\ du=\cos\theta\,d\theta, obtemos \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{3}\theta\,d\theta = \int_{u=0}^{1} (1-u^{2})\,du = \left[u - \dfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.Portanto \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{3}\theta\,d\theta = 2\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}.
    • Assim \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta = \pi - \dfrac{4}{3} = \dfrac{3\pi-4}{3}.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{8}{3} desta parte obtemos \dfrac{8}{3}\cdot \dfrac{3\pi-4}{3} = \dfrac{8(3\pi-4)}{9}.

Passo 5

Somar as contribuições e simplificar o resultado final.
  • Soma das duas partes: \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \dfrac{8(3\pi-4)}{9} \;+\; \dfrac{8\pi}{3}.
  • Colocando em denominador comum 9: \dfrac{8(3\pi-4)}{9} + \dfrac{8\pi}{3} = \dfrac{8(3\pi-4)}{9} + \dfrac{24\pi}{9} = \dfrac{24\pi -32 +24\pi}{9} = \dfrac{48\pi -32}{9}.
  • Fatorando 16: \dfrac{48\pi -32}{9} = \dfrac{16(3\pi -2)}{9}.

Resposta

\dfrac{16(3\pi-2)}{9}

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