Calcule a integral dupla de
sobre
, onde:
é a região do plano limitada pela curvas
e
que está acima do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
do plano limitada pelas curvas polares
e
que está acima do eixo
.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A região
é o conjunto dos pontos entre as curvas polares e , restrita à parte com (ou seja, acima do eixo ). - Em coordenadas polares, um ponto do plano é
com , .
O que precisa ser calculado:
.
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática): quando a região é descrita por curvas do tipo
e a integranda envolve
, coordenadas polares simplificam muito. Em polares temos:
e o elemento de área é
Portanto, na integral dupla a integranda
multiplicada por
vira
. Isso deixa a integral com uma forma direta para integrar em
e
.
Passo 3
Determinar os limites de integração em
e em
.
A região pedida é "acima do eixo
", isto é
. Em polares isso corresponde a
variando entre
e
. Então o intervalo em
é
Para cada
neste intervalo,
varia entre a curva interna
e a curva externa
. Antes de aceitar isso, verificamos rapidamente se as curvas se intersectam (pois isso mudaria a descrição): resolver
dá
, impossível; portanto as curvas não se cruzam para ângulos reais, e para
temos
(em
dá 0) e
. Logo, para
a descrição por
é válida.
Portanto os limites são
Passo 4
Montar a integral em coordenadas polares usando a observação do Passo 2:
Agora vamos calcular essa integral iterada: primeiro integrar em
, depois em
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Portanto a integral total vale
Passo 6
Expandir os cubos para integrar termo a termo. Seja
. Expandindo:
Subtraindo:
Então
Passo 7
Integrar cada termo separadamente, usando identidades trigonométricas e simetrias (explicação didática das integrais):
- A integral de uma constante:
. - A integral de
: . - A integral de
: usar a identidade de redução . Assim
- A integral de
: como é função ímpar em torno de no intervalo , temos . (Alternativamente pode-se usar identidades trigonométricas para mostrar isso.)
Agora aplique esses resultados:
Passo 8
Finalizar a conta aritmética: