Calcule a integral dupla de f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre D, onde:
D é a região do plano limitada pela curvas r=1+\cos \theta e r=3+2 \cos \theta que está acima do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre a região D do plano limitada pelas curvas polares r=1+\cos\theta e r=3+2\cos\theta que está acima do eixo x.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é o conjunto dos pontos entre as curvas polares r=1+\cos\theta e r=3+2\cos\theta, restrita à parte com y\ge 0 (ou seja, acima do eixo x).
  • Em coordenadas polares, um ponto do plano é (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
O que precisa ser calculado: \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dA.

Passo 2

Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática): quando a região é descrita por curvas do tipo r=\cdots e a integranda envolve \sqrt{x^{2}+y^{2}}, coordenadas polares simplificam muito. Em polares temos:
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r,
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Portanto, na integral dupla a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} multiplicada por dA vira r\cdot(r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta. Isso deixa a integral com uma forma direta para integrar em r e \theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração em \theta e em r.
A região pedida é "acima do eixo x", isto é y\ge 0. Em polares isso corresponde a \theta variando entre \theta=0 e \theta=\pi. Então o intervalo em \theta é
0 \le \theta \le \pi.
Para cada \theta neste intervalo, r varia entre a curva interna r=1+\cos\theta e a curva externa r=3+2\cos\theta. Antes de aceitar isso, verificamos rapidamente se as curvas se intersectam (pois isso mudaria a descrição): resolver 1+\cos\theta=3+2\cos\theta \cos\theta=-2, impossível; portanto as curvas não se cruzam para ângulos reais, e para \theta\in[0,\pi] temos 1+\cos\theta\ge 0 (em \theta=\pi dá 0) e 3+2\cos\theta\ge 1>0. Logo, para 0\le\theta\le\pi a descrição por 1+\cos\theta\le r\le 3+2\cos\theta é válida.
Portanto os limites são
0 \le \theta \le \pi,\qquad 1+\cos\theta \le r \le 3+2\cos\theta.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas polares usando a observação do Passo 2:
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dA = \int_{0}^{\pi}\int_{1+\cos\theta}^{3+2\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.
Agora vamos calcular essa integral iterada: primeiro integrar em r, depois em \theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{1+\cos\theta}^{3+2\cos\theta} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{r=1+\cos\theta}^{r=3+2\cos\theta} = \frac{(3+2\cos\theta)^{3}-(1+\cos\theta)^{3}}{3}.
Portanto a integral total vale
I=\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\bigl[(3+2\cos\theta)^{3}-(1+\cos\theta)^{3}\bigr]\,d\theta.

Passo 6

Expandir os cubos para integrar termo a termo. Seja c=\cos\theta. Expandindo:
(3+2c)^{3}=27+54c+36c^{2}+8c^{3},
(1+c)^{3}=1+3c+3c^{2}+c^{3}.
Subtraindo:
(3+2c)^{3}-(1+c)^{3}=26+51c+33c^{2}+7c^{3}.
Então
I=\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\bigl(26+51\cos\theta+33\cos^{2}\theta+7\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 7

Integrar cada termo separadamente, usando identidades trigonométricas e simetrias (explicação didática das integrais):
  • A integral de uma constante: \displaystyle \int_{0}^{\pi}26\,d\theta = 26\pi.
  • A integral de \cos\theta: \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = [\sin\theta]_{0}^{\pi}=0.
  • A integral de \cos^{2}\theta: usar a identidade de redução \displaystyle \cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\pi+0=\frac{\pi}{2}.
  • A integral de \cos^{3}\theta: como \cos^{3}\theta é função ímpar em torno de \theta=\tfrac{\pi}{2} no intervalo [0,\pi], temos \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{3}\theta\,d\theta=0. (Alternativamente pode-se usar identidades trigonométricas para mostrar isso.)
Agora aplique esses resultados:
\int_{0}^{\pi}\bigl(26+51\cos\theta+33\cos^{2}\theta+7\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta =26\pi + 51\cdot 0 + 33\cdot\frac{\pi}{2} + 7\cdot 0 =26\pi + \frac{33\pi}{2}.

Passo 8

Finalizar a conta aritmética:
I=\frac{1}{3}\left(26\pi+\frac{33\pi}{2}\right) =\frac{1}{3}\cdot\frac{52\pi+33\pi}{2} =\frac{1}{3}\cdot\frac{85\pi}{2} =\frac{85\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{85\pi}{6}

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