A temperatura
(em graus Celsius) de uma xícara de café deixada sobre uma mesa em uma sala climatizada, após
minutos, é modelada pela função:
, para
.
Existe uma assíntota horizontal para essa função? Se sim, explique o significado físico desse valor no contexto do problema.
Existe uma assíntota horizontal para essa função? Se sim, explique o significado físico desse valor no contexto do problema.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura de uma xícara de café por meio da função
onde
está em minutos e
é a temperatura em
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Existe uma assíntota horizontal para essa função?
- Se sim, qual é essa assíntota e qual o significado físico dela no contexto do problema?
Passo 2
Primeiro vamos calcular o comportamento da função quando o tempo fica muito grande, isto é, o limite quando
. Uma assíntota horizontal da forma
existe se
(ou se o limite quando
existir; aqui o domínio é
, então só precisamos do limite quando
). Calculemos o limite:
Passo 3
Agora analisar
. Como
quando
, tem-se que
tende a
. Outra forma intuitiva:
e o denominador cresce sem limite, então a fração vai a
. Portanto
e substituindo no limite de
obtemos
Logo existe uma assíntota horizontal e ela é a reta
.
Passo 4
Explicação física (didática e passo a passo): a constante
que aparece em
é a temperatura de equilíbrio do modelo — ou seja, a temperatura da sala/climatização. No instante inicial
a temperatura do café é
ou seja,
. À medida que o tempo passa, o termo
decai para zero, fazendo
aproximar-se de
. Fisicamente isso significa que o café vai esfriar e, segundo o modelo, aproxima-se da temperatura ambiente
. O modelo também indica que o café nunca atinge exatamente
em tempo finito (apenas se aproxima arbitrariamente), mas para propósitos práticos ficará tão perto quanto se queira após tempo suficiente.
Resposta
Sim. A assíntota horizontal é
.
Significado físico: é a temperatura de equilíbrio (temperatura da sala); o café esfria e tende a essa temperatura quando
.
Significado físico: