A temperatura T (em graus Celsius) de uma xícara de café deixada sobre uma mesa em uma sala climatizada, após t minutos, é modelada pela função: f(x)=22+58 e^{-0.05 t}, para t \geq 0.
Existe uma assíntota horizontal para essa função? Se sim, explique o significado físico desse valor no contexto do problema.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura de uma xícara de café por meio da função
f(t)=22+58e^{-0{,}05t},\quad t\ge 0,
onde t está em minutos e f(t) é a temperatura em ^\circ\text{C}.
As perguntas são:
  • Existe uma assíntota horizontal para essa função?
  • Se sim, qual é essa assíntota e qual o significado físico dela no contexto do problema?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o comportamento da função quando o tempo fica muito grande, isto é, o limite quando t\to\infty. Uma assíntota horizontal da forma y=L existe se
\lim_{t\to\infty} f(t)=L
(ou se o limite quando t\to-\infty existir; aqui o domínio é t\ge 0, então só precisamos do limite quando t\to\infty). Calculemos o limite:
\lim_{t\to\infty} f(t)=\lim_{t\to\infty}\bigl(22+58e^{-0{,}05t}\bigr)=22+58\lim_{t\to\infty}e^{-0{,}05t}.

Passo 3

Agora analisar \lim_{t\to\infty}e^{-0{,}05t}. Como -0{,}05t\to -\infty quando t\to\infty, tem-se que e^{-0{,}05t} tende a 0. Outra forma intuitiva: e^{-0{,}05t}=\dfrac{1}{e^{0{,}05t}} e o denominador cresce sem limite, então a fração vai a 0. Portanto
\lim_{t\to\infty}e^{-0{,}05t}=0,
e substituindo no limite de f obtemos
\lim_{t\to\infty} f(t)=22+58\cdot 0=22.
Logo existe uma assíntota horizontal e ela é a reta y=22.

Passo 4

Explicação física (didática e passo a passo): a constante 22 que aparece em f(t)=22+58e^{-0{,}05t} é a temperatura de equilíbrio do modelo — ou seja, a temperatura da sala/climatização. No instante inicial t=0 a temperatura do café é
f(0)=22+58\cdot e^{0}=22+58=80,
ou seja, 80^\circ\text{C}. À medida que o tempo passa, o termo 58e^{-0{,}05t} decai para zero, fazendo f(t) aproximar-se de 22^\circ\text{C}. Fisicamente isso significa que o café vai esfriar e, segundo o modelo, aproxima-se da temperatura ambiente 22^\circ\text{C}. O modelo também indica que o café nunca atinge exatamente 22^\circ\text{C} em tempo finito (apenas se aproxima arbitrariamente), mas para propósitos práticos ficará tão perto quanto se queira após tempo suficiente.

Resposta

Sim. A assíntota horizontal é y=22.
Significado físico: 22^\circ\text{C} é a temperatura de equilíbrio (temperatura da sala); o café esfria e tende a essa temperatura quando t\to\infty.

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