A temperatura inicial de um filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é de T1=2653,8 K, na qual o máximo de emissão ocorre em lambda1. Após ajustar a tensão elétrica da lâmpada, a temperatura do filamento aumenta para T2 e a potência total irradiada pela lâmpada passa para 6,3 vezes o valor que se tinha com T1. Supondo que o filamento da lâmpada se comporta como um corpo negro, qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura T2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura de um filamento de lâmpada que se comporta como corpo negro. A gente precisa usar conceitos de radiação de corpo negro, especificamente as leis de Stefan-Boltzmann e de Wien. Vamos precisar dessas duas leis para calcular o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral quando a temperatura do filamento aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência total irradiada por um corpo negro é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta. A fórmula é:
P = sigma A T^4
Onde:
  • $ P $ é a potência irradiada,
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ( P ),
  • $ A $ é a área da superfície do corpo,
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

No enunciado, a potência aumenta para 6,3 vezes o valor original quando a temperatura sobe para $ T_2 $. Então, podemos escrever:
T2
Como $ P_1 = \sigma A T_1^4 $, substituindo na equação:
6,3P1 = sigma A T2^4

Passo 4

Agora, podemos simplificar a equação cancelando $ \sigma A $ dos dois lados:
sigma A
Para encontrar $ T_2 $, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
6,3 T1^4 = T2^4
Calculando $ \sqrt[4]{6,3} $:
T2
Então:
T2 = raiz[4]6,3 times T1

Passo 5

Agora que temos a nova temperatura, vamos usar a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda do pico de emissão ($ \lambda_{máx} $) com a temperatura:
lambdamáx á
Onde $ b $ é a constante de deslocamento de Wien ( lambdamáx T = b ).

Passo 6

Para encontrar o novo comprimento de onda $ \lambda_2 $:
lambda2
Substituindo os valores:
lambda2 = bT2

Resposta

O novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura $ T_2 $ é aproximadamente $ 6,99 \times 10^{-7} , m $ (ou 699 nm).

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