A temperatura inicial de um filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é de
, na qual o máximo de emissão ocorre em
. Após ajustar a tensão elétrica da lâmpada, a temperatura do filamento aumenta para
e a potência total irradiada pela lâmpada passa para 6,3 vezes o valor que se tinha com
. Supondo que o filamento da lâmpada se comporta como um corpo negro, qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura de um filamento de lâmpada que se comporta como corpo negro. A gente precisa usar conceitos de radiação de corpo negro, especificamente as leis de Stefan-Boltzmann e de Wien. Vamos precisar dessas duas leis para calcular o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral quando a temperatura do filamento aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência total irradiada por um corpo negro é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta. A fórmula é:
Onde:
- $ P $ é a potência irradiada,
- $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann (
), - $ A $ é a área da superfície do corpo,
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Passo 3
No enunciado, a potência aumenta para 6,3 vezes o valor original quando a temperatura sobe para $ T_2 $. Então, podemos escrever:
Como $ P_1 = \sigma A T_1^4 $, substituindo na equação:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a equação cancelando $ \sigma A $ dos dois lados:
Para encontrar $ T_2 $, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Calculando $ \sqrt[4]{6,3} $:
Então:
Passo 5
Agora que temos a nova temperatura, vamos usar a Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda do pico de emissão ($ \lambda_{máx} $) com a temperatura:
Onde $ b $ é a constante de deslocamento de Wien (
).
Passo 6
Para encontrar o novo comprimento de onda $ \lambda_2 $:
Substituindo os valores:
Resposta
O novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura $ T_2 $ é aproximadamente $ 6,99 \times 10^{-7} , m $ (ou 699 nm).