A temperatura \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) graus em qualquer ponto de um sólido no espaço tridimensional, é \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\frac{60}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}. A distância é medida em centímetros.
a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto ( 3,-2,2 ) na direção e sentido do vetor -2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}-6 \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura no sólido por
T(x,y,z)=\frac{60}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}.
Os dados específicos são o ponto (3,-2,2) e o vetor de direção -2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}, isto é o vetor \langle -2,3,-6\rangle.\n
A pergunta é: qual é a taxa de variação da temperatura no ponto (3,-2,2) na direção e sentido do vetor \langle -2,3,-6\rangle?\n
Observações explícitas dos dados:
\text{Função: }T(x,y,z)=\frac{60}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3},çã
\text{Ponto: }(x_0,y_0,z_0)=(3,-2,2),
\text{Vetor de direção: }\mathbf{v}=\langle -2,3,-6\rangle.çã

Passo 2

O que precisamos calcular na prática: a taxa de variação de T na direção do vetor \mathbf{v} em um ponto é o derivada direcional de T nessa direção. Para calcular isso usamos duas ideias principais:
  1. A derivada direcional de T na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de T e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot \mathbf{u}.
  1. O gradiente \nabla T é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
\nabla T=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z}\right).
Portanto a receita na prova é:
  • achar \nabla T (as parciais),
  • transformar \mathbf{v} em vetor unitário \mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|,
  • calcular \nabla T(3,-2,2)\cdot \mathbf{u}.
Vou explicar cada passo com calma e contas detalhadas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T. É mais simples usar a substituição u=x^{2}+y^{2}+z^{2}+3, então
T(x,y,z)=60\,u^{-1}.
Pela regra da cadeia (derivada de u^{-1} é -1\cdot u^{-2} vezes a derivada de u), temos
\frac{\partial T}{\partial x}=60\cdot(-1)u^{-2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial u}{\partial x}=2x, obtemos
\frac{\partial T}{\partial x}=-60\cdot u^{-2}\cdot 2x = -\frac{120x}{u^{2}}.
Analogamente,
\frac{\partial T}{\partial y}=-\frac{120y}{u^{2}},\qquad \frac{\partial T}{\partial z}=-\frac{120z}{u^{2}}.

Passo 4

Avaliar u e as parciais no ponto (3,-2,2). Primeiro
u(3,-2,2)=3^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+3=9+4+4+3=20.
Logo u^{2}=20^{2}=400. Substituindo nas fórmulas das parciais:
\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{(3,-2,2)}=-\frac{120\cdot 3}{400}=-\frac{360}{400}=-\frac{9}{10}.
\frac{\partial T}{\partial y}\Big|_{(3,-2,2)}=-\frac{120\cdot (-2)}{400}=\frac{240}{400}=\frac{3}{5}.
\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{(3,-2,2)}=-\frac{120\cdot 2}{400}=-\frac{240}{400}=-\frac{3}{5}.

Passo 5

Escrever o gradiente no ponto:
\nabla T(3,-2,2)=\left(-\frac{9}{10},\,\frac{3}{5},\,-\frac{3}{5}\right).
Breve interpretação: esse vetor aponta na direção de maior aumento de T e suas componentes dizem como T muda quando variamos x,y,z separadamente.

Passo 6

Calcular o vetor unitário na direção do vetor dado \mathbf{v}=\langle -2,3,-6\rangle. Primeiro a norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.
Então o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{7}\langle -2,3,-6\rangle=\left\langle -\frac{2}{7},\,\frac{3}{7},\,-\frac{6}{7}\right\rangle.

Passo 7

Calcular a derivada direcional como o produto escalar \nabla T(3,-2,2)\cdot\mathbf{u}. Fazendo o produto termo a termo:
D_{\mathbf{u}}T=\left(-\frac{9}{10}\right)\left(-\frac{2}{7}\right) +\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{3}{7}\right) +\left(-\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{6}{7}\right).
Calculemos cada parcela:
\left(-\frac{9}{10}\right)\left(-\frac{2}{7}\right)=\frac{18}{70}=\frac{9}{35},
\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{3}{7}\right)=\frac{9}{35},
\left(-\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{6}{7}\right)=\frac{18}{35}.
Somando:
D_{\mathbf{u}}T=\frac{9}{35}+\frac{9}{35}+\frac{18}{35}=\frac{36}{35}.
Número positivo: a temperatura está aumentando quando nos movemos nessa direção e sentido do vetor dado. A unidade é “graus por centímetro” (porque a distância foi dada em centímetros).

Resposta

\dfrac{36}{35} graus por centímetro.

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