A temperatura \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) graus em qualquer ponto de um sólido no espaço tridimensional, é \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\frac{60}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}. A distância é medida em centímetros.
a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto ( 3,-2,2 ) na direção e sentido do vetor -2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}-6 \mathrm{k}.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura no sólido por
T(x,y,z)=\frac{60}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}.
Os dados específicos são o ponto (3,-2,2) e o vetor de direção -2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}, isto é o vetor \langle -2,3,-6\rangle.\n
A pergunta é: qual é a taxa de variação da temperatura no ponto (3,-2,2) na direção e sentido do vetor \langle -2,3,-6\rangle?\n
Observações explícitas dos dados:
\text{Vetor de direção: }\mathbf{v}=\langle -2,3,-6\rangle.
Passo 2
O que precisamos calcular na prática: a taxa de variação de T na direção do vetor \mathbf{v} em um ponto é o derivada direcional de T nessa direção. Para calcular isso usamos duas ideias principais:
A derivada direcional de T na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de T e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot \mathbf{u}.
O gradiente \nabla T é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
Número positivo: a temperatura está aumentando quando nos movemos nessa direção e sentido do vetor dado. A unidade é “graus por centímetro” (porque a distância foi dada em centímetros).