\mathbf{2}^{\text {a }} Questão: Se \mathrm{U}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{t}) é a temperatura em \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) no instante t , pode-se mostrar que U satisfaz a equação bidimensional do calor \frac{\delta U}{\delta t}-k\left(\frac{\delta^{2} U}{\delta x^{2}}+\frac{\delta^{2} U}{\delta y^{2}}\right)=0 em que k é uma constante que depende da condutividade térmica e do calor específico da placa. Mostre que:
\mathrm{U}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{t})=20 e^{-2 k \pi^{2} t} \operatorname{sen}(\pi x) \operatorname{sen}(\pi y) é uma solução desta equação do calor.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura U(x,y,t) e pede para mostrar que ela satisfaz a equação bidimensional do calor. Informações e pedidos explícitos:
  • Função fornecida: U(x,y,t)=20\,e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y).
  • Equação do calor a verificar: \frac{\partial U}{\partial t}-k\!\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}\right)=0,
onde k é uma constante.
  • Pedido: mostrar que, substituindo a função U na equação acima, a expressão se anula (isto é, a igualdade é verdadeira para todos x,y,t apropriados).

Passo 2

Entendendo o que fazer e regras básicas de derivação (mini-aula rápida e amigável):
  • Para calcular \frac{\partial U}{\partial t} tratamos x e y como constantes; apenas derivamos em relação a t.
  • Para \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} derivamos duas vezes em relação a x, tratando t e y como constantes. O mesmo para \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}.
  • Regras que usaremos:
    • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dt}e^{a t}=a e^{a t}.
    • Derivada de \sin(\alpha x) em relação a x: \dfrac{d}{dx}\sin(\alpha x)=\alpha\cos(\alpha x).
    • Segunda derivada de \sin(\alpha x): \dfrac{d^2}{dx^2}\sin(\alpha x)=-\alpha^2\sin(\alpha x).
  • Observação: \pi e k são constantes, e o fator 20 é apenas constante multiplicativa — ele permanece em todas as derivadas.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial U}{\partial t}. Aplicamos a regra da cadeia à exponencial (com x,y constantes):
\begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial t} &=20\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2k\pi^{2}t}\bigr)\cdot\sin(\pi x)\sin(\pi y)\\[4pt] &=20\cdot\bigl(-2k\pi^{2}\bigr)e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\\[4pt] &=-40\,k\pi^{2}\,e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y). \end{aligned}
Explicando: derivada de e^{-2k\pi^{2}t} é -2k\pi^{2}e^{-2k\pi^{2}t}. Multiplicamos pelo constante 20 e pelos fatores \sin(\pi x)\sin(\pi y) que não dependem de t.]

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}. Primeiro derivamos em x uma vez, depois novamente.
Primeira derivada em x:
\frac{\partial U}{\partial x} =20\,e^{-2k\pi^{2}t}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin(\pi x)\bigr)\cdot\sin(\pi y) =20\,e^{-2k\pi^{2}t}\cdot\pi\cos(\pi x)\sin(\pi y).
Segunda derivada em x:
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} &=20\,e^{-2k\pi^{2}t}\cdot\pi\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(\pi x)\bigr)\cdot\sin(\pi y)\\[4pt] &=20\,e^{-2k\pi^{2}t}\cdot\pi\cdot\bigl(-\pi\sin(\pi x)\bigr)\cdot\sin(\pi y)\\[4pt] &=-20\,\pi^{2}\,e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y). \end{aligned}
Observação: usamos que \dfrac{d}{dx}\cos(\pi x)=-\pi\sin(\pi x).]

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}. Por simetria com o caso de x (trocar x por y) obtemos:
\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}} =-20\,\pi^{2}\,e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y).
Explicando: a dependência em y é exatamente análoga à de x, então a segunda derivada em y dá o mesmo resultado numérico.

Passo 6

Somar as segundas derivadas e formar a expressão da equação do calor:
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}} &= -20\pi^{2}e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\\[4pt] &\quad\; +\bigl(-20\pi^{2}e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\bigr)\\[4pt] &= -40\pi^{2}e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y). \end{aligned}
Multiplicando por k:
k\!\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}\right) = -40\,k\pi^{2}\,e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y).]

Passo 7

Comparar \dfrac{\partial U}{\partial t} com k vezes a soma das segundas derivadas:
  • Encontramos em

Passo 8

  • Em

Passo 9

Portanto,
\frac{\partial U}{\partial t}-k\!\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}\right) = -40k\pi^{2}e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y) - \bigl(-40k\pi^{2}e^{-2k\pi^{2}t}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\bigr)=0.
Isto mostra que a expressão se anula para todos os x,y,t (onde a função está definida), logo U satisfaz a equação do calor.

Resposta

Sim. Ao substituir obtém-se \frac{\partial U}{\partial t}-k\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}\right)=0, portanto U é solução.

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