Questão: Se
é a temperatura em
no instante t , pode-se mostrar que U satisfaz a equação bidimensional do calor
em que k é uma constante que depende da condutividade térmica e do calor específico da placa. Mostre que:
é uma solução desta equação do calor.
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação bidimensional do calor. Informações e pedidos explícitos:
- Função fornecida:
- Equação do calor a verificar:
onde
é uma constante.
- Pedido: mostrar que, substituindo a função
na equação acima, a expressão se anula (isto é, a igualdade é verdadeira para todos apropriados).
Passo 2
Entendendo o que fazer e regras básicas de derivação (mini-aula rápida e amigável):
- Para calcular
tratamos e como constantes; apenas derivamos em relação a . - Para
derivamos duas vezes em relação a , tratando e como constantes. O mesmo para . - Regras que usaremos:
- Derivada da exponencial:
. - Derivada de
em relação a : . - Segunda derivada de
: .
- Derivada da exponencial:
- Observação:
e são constantes, e o fator é apenas constante multiplicativa — ele permanece em todas as derivadas.
Passo 3
Calcular
. Aplicamos a regra da cadeia à exponencial (com
constantes):
Explicando: derivada de
é
. Multiplicamos pelo constante
e pelos fatores
que não dependem de
.]
Passo 4
Calcular
. Primeiro derivamos em
uma vez, depois novamente.
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Observação: usamos que
.]
Passo 5
Calcular
. Por simetria com o caso de
(trocar
por
) obtemos:
Explicando: a dependência em
é exatamente análoga à de
, então a segunda derivada em
dá o mesmo resultado numérico.
Passo 6
Somar as segundas derivadas e formar a expressão da equação do calor:
Multiplicando por
:
Passo 7
Comparar
com
vezes a soma das segundas derivadas:
- Encontramos em
Passo 8
- Em
Passo 9
Portanto,
Isto mostra que a expressão se anula para todos os
(onde a função está definida), logo
satisfaz a equação do calor.
Resposta
Sim. Ao substituir obtém-se
, portanto
é solução.