Para a função
determine, no ponto
:
a) a direção de máximo crescimento;
b) a direção de máximo decrescimento;
c) o valor máximo da derivada direcional.
a) a direção de máximo crescimento;
b) a direção de máximo decrescimento;
c) o valor máximo da derivada direcional.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, no ponto
, três coisas:
a) a direção de máximo crescimento da função (ou seja, em que direção a função aumenta mais rapidamente);
b) a direção de máximo decrescimento (ou seja, em que direção a função diminui mais rapidamente);
c) o valor máximo da derivada direcional naquele ponto (ou seja, qual é a maior taxa de variação direcional possível em ).
a) a direção de máximo crescimento da função (ou seja, em que direção a função aumenta mais rapidamente);
b) a direção de máximo decrescimento (ou seja, em que direção a função diminui mais rapidamente);
c) o valor máximo da derivada direcional naquele ponto (ou seja, qual é a maior taxa de variação direcional possível em
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida em termos de e . - O ponto onde tudo deve ser avaliado é
.
Passo 2
Conceito-chave: gradiente e derivada direcional.
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
e
denota produto escalar.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Interpretação intuitiva:
aponta na direção em que
cresce mais rápido no ponto
. A maior taxa de aumento, entre todas as direções unitárias, é o comprimento
. A direção de máximo decrescimento é exatamente a oposta do gradiente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Encontrar a direção de máximo crescimento.
- Como já explicado, a direção de máximo crescimento é a direção do vetor gradiente. Para especificar uma direção usa-se normalmente um vetor unitário.
- O comprimento do gradiente é
- O vetor unitário na direção do gradiente é
Esse é o vetor direção em que
cresce mais rápido em
.
Passo 6
Encontrar a direção de máximo decrescimento.
- A direção de máximo decrescimento é o sentido oposto ao gradiente, portanto o vetor unitário correspondente é
Passo 7
Calcular o valor máximo da derivada direcional.
- Para qualquer vetor unitário
vale . - Pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz,
com igualdade quando
é paralelo a
.
- Logo o valor máximo da derivada direcional é exatamente
- Verificação direta: para
,
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)