Para a função
f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}
determine, no ponto (1,1) :
a) a direção de máximo crescimento;
b) a direção de máximo decrescimento;
c) o valor máximo da derivada direcional.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}
e pede, no ponto (1,1), três coisas:
a) a direção de máximo crescimento da função (ou seja, em que direção a função aumenta mais rapidamente);
b) a direção de máximo decrescimento (ou seja, em que direção a função diminui mais rapidamente);
c) o valor máximo da derivada direcional naquele ponto (ou seja, qual é a maior taxa de variação direcional possível em (1,1)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f está definida em termos de x e y.
  • O ponto onde tudo deve ser avaliado é (1,1).

Passo 2

Conceito-chave: gradiente e derivada direcional.
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot denota produto escalar.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Interpretação intuitiva: \nabla f(x_0,y_0) aponta na direção em que f cresce mais rápido no ponto (x_0,y_0). A maior taxa de aumento, entre todas as direções unitárias, é o comprimento \lVert\nabla f(x_0,y_0)\rVert. A direção de máximo decrescimento é exatamente a oposta do gradiente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-y.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x+2y.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,1).
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot1-1=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-1+2\cdot1=1.
Portanto o gradiente em (1,1) é
\nabla f(1,1)=(1,1).

Passo 5

Encontrar a direção de máximo crescimento.
  • Como já explicado, a direção de máximo crescimento é a direção do vetor gradiente. Para especificar uma direção usa-se normalmente um vetor unitário.
  • O comprimento do gradiente é
\lVert\nabla f(1,1)\rVert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • O vetor unitário na direção do gradiente é
\mathbf{u}_{\text{max}}=\frac{\nabla f(1,1)}{\lVert\nabla f(1,1)\rVert}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Esse é o vetor direção em que f cresce mais rápido em (1,1).

Passo 6

Encontrar a direção de máximo decrescimento.
  • A direção de máximo decrescimento é o sentido oposto ao gradiente, portanto o vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}_{\text{min}}=-\mathbf{u}_{\text{max}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 7

Calcular o valor máximo da derivada direcional.
  • Para qualquer vetor unitário \mathbf{u} vale D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}.
  • Pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz,
\lvert\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}\rvert\le \lVert\nabla f(1,1)\rVert\cdot\lVert\mathbf{u}\rVert=\lVert\nabla f(1,1)\rVert,
com igualdade quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f(1,1).
  • Logo o valor máximo da derivada direcional é exatamente
\lVert\nabla f(1,1)\rVert=\sqrt{2}.
  • Verificação direta: para \mathbf{u}_{\text{max}}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),
D_{\mathbf{u}_{\text{max}}}f(1,1)=(1,1)\cdot\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}+\tfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Resposta

a) \displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
b) \displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
c) \displaystyle \sqrt{2}

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