A posição de um certo sistema massa-mola satisfaz o P.V.I.
\frac{3}{2} u^{\prime \prime}+k u=0, \quad u(0)=0, \quad u^{\prime}(0)=b
Se o período e a amplitude do movimento resultante são, respectivamente, \pi e 3 , determine k e b.

Passo 1

O enunciado dá exatamente isto:
  • A equação diferencial e condições iniciais:
\frac{3}{2}\,u''(t)+k\,u(t)=0,\qquad u(0)=0,\qquad u'(0)=b.
  • Informação sobre o movimento resultante:
    • período T=\pi,
    • amplitude A=3.
O que se pede: determinar os valores de k e de b.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de um oscilador harmônico ajuda a identificar a frequência angular. Dividindo a equação por \tfrac{3}{2} obtemos
u''(t)+\frac{2k}{3}\,u(t)=0.
É comum escrever \omega^2=\dfrac{2k}{3}, onde \omega é a frequência angular do oscilador. Assim a equação fica
u''(t)+\omega^2 u(t)=0.
Comentário curto sobre por quê: para uma equação linear homogênea com coeficiente constante dessa forma, as soluções são combinações de seno e cosseno com frequência angular \omega.

Passo 3

A solução geral da equação
u''+\omega^2 u=0
é
u(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui A e B são amplitudes relativas das componentes cosseno e seno; o movimento é periódico de frequência \omega.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar A e B.
Da condição u(0)=0 temos
u(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A\cdot1+ B\cdot0=A,
logo
A=0.
A derivada da solução é
u'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t).
Avaliada em t=0
u'(0)=B\omega=b,
portanto
B=\frac{b}{\omega}.
Com isso a solução específica fica
u(t)=\frac{b}{\omega}\sin(\omega t).

Passo 5

Agora relacionar amplitude com b e \omega. Para u(t)=\dfrac{b}{\omega}\sin(\omega t) a amplitude (valor máximo absoluto) é o coeficiente multiplicando o seno, isto é
\text{amplitude}= \left|\frac{b}{\omega}\right|.
O enunciado diz que a amplitude vale 3, então
\left|\frac{b}{\omega}\right|=3.
Isso implica
|b|=3\omega.

Passo 6

Relacionar \omega com o período T. Para movimento harmônico simples vale
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Foi dado T=\pi. Então
\pi=\frac{2\pi}{\omega}\quad\Rightarrow\quad \omega=2.

Passo 7

Calcular k a partir de \omega. Lembrando que \omega^2=\dfrac{2k}{3}, substituindo \omega=2 temos
4=\frac{2k}{3}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{3}{2}\cdot 4=6.

Passo 8

Calcular b a partir de |b|=3\omega com \omega=2:
|b|=3\cdot 2=6,
ou seja b=6 ou b=-6. Interpretação física rápida (sem repetir a resposta final): o sinal de b indica a direção da velocidade inicial em t=0; a amplitude dada só fixa o valor absoluto.

Resposta

k=6
b=\pm 6

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