Colocar a equação na forma padrão de um oscilador harmônico ajuda a identificar a frequência angular. Dividindo a equação por \tfrac{3}{2} obtemos
u''(t)+\frac{2k}{3}\,u(t)=0.
É comum escrever \omega^2=\dfrac{2k}{3}, onde \omega é a frequência angular do oscilador. Assim a equação fica
u''(t)+\omega^2 u(t)=0.
Comentário curto sobre por quê: para uma equação linear homogênea com coeficiente constante dessa forma, as soluções são combinações de seno e cosseno com frequência angular \omega.
Passo 3
A solução geral da equação
u''+\omega^2 u=0
é
u(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui A e B são amplitudes relativas das componentes cosseno e seno; o movimento é periódico de frequência \omega.
Agora relacionar amplitude com b e \omega. Para u(t)=\dfrac{b}{\omega}\sin(\omega t) a amplitude (valor máximo absoluto) é o coeficiente multiplicando o seno, isto é
\text{amplitude}= \left|\frac{b}{\omega}\right|.
O enunciado diz que a amplitude vale 3, então
\left|\frac{b}{\omega}\right|=3.
Isso implica
|b|=3\omega.
Passo 6
Relacionar \omega com o período T. Para movimento harmônico simples vale
ou seja b=6 ou b=-6. Interpretação física rápida (sem repetir a resposta final): o sinal de b indica a direção da velocidade inicial em t=0; a amplitude dada só fixa o valor absoluto.