Considere o problema de valor inicial
,
.
a) Resolva o problema de valor inicial e plote o gráfico da solução;
b) Determine as coordenadas (
) do ponto de máximo;
c) mude a segunda condição inicial para
e encontre a solução em função de
.
a) Resolva o problema de valor inicial e plote o gráfico da solução;
b) Determine as coordenadas (
c) mude a segunda condição inicial para
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede:
(a) resolver o PVI e plotar o gráfico da solução;
(b) determinar as coordenadas do ponto de máximo da solução;
(c) repetir a solução do PVI quando a segunda condição inicial for , ou seja, encontrar
em função de
.
(a) resolver o PVI e plotar o gráfico da solução;
(b) determinar as coordenadas
(c) repetir a solução do PVI quando a segunda condição inicial for
As informações relevantes são:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Condições iniciais: valor de
em e de em (na parte (a) o valor de é ; na parte (c) será um parâmetro ).
Passo 2
Método para resolver a equação: transformamos a equação diferencial em uma equação algébrica (equação característica) substituindo
. Isto funciona porque derivadas de
trazem fatores
e mantêm a forma exponencial; assim esperamos obter raízes
que geram soluções fundamentais. Aplicando
em
obtém-se a equação característica
Agora resolvemos a quadrática: o discriminante é
Como
, a equação tem uma raiz dupla. A raiz é
Para uma raiz dupla
da equação característica, as duas soluções independentes da EDO são
e
. Portanto a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Vou explicar por que usamos
: quando a raiz é simples obtemos uma solução
; quando a raiz tem multiplicidade 2, precisamos de uma segunda solução linearmente independente, e prova padrão (método de redução de ordem) mostra que
funciona — é a forma padrão para raízes repetidas.
Passo 3
Aplicando as condições iniciais (parte a) para determinar
e
.
Primeiro, da condição
:
Agora calculamos
para aplicar
. Diferenciando
(vou detalhar cada termo):
A derivada de
é
. A derivada de
é
. Logo
Agora
. Com
e
obtemos
Portanto a solução particular do PVI da parte (a) é
Passo 4
Como plotar / comportamento da solução (parte a, gráfico):
Vamos entender o formato para esboçar o gráfico sem calculadora gráfica:
- Em
: . - Derivada inicial:
, então a solução sobe inicialmente. - Comportamento para grande
: o fator exponencial domina e faz quando , então a função eventualmente desce e tende a zero. - Assim esperamos um crescimento inicial (porque
), atingir um máximo em algum , e depois decair monotonamente para .
Para dar pontos concretos úteis ao desenhar, alguns valores:
-
: . -
: . -
(valor do máximo que vamos achar depois): será cerca de (veremos exatamente no próximo passo). -
: . - Para
muito grande, .
Com esses pontos e sabendo a forma (sobe, atinge máximo, decai para zero), é possível traçar o gráfico. Num computador, usar por exemplo Python/Matplotlib, Octave ou uma calculadora gráfica e plotar a função
em
.
Passo 5
Determinar o ponto de máximo (parte b).
Um máximo interior ocorre quando
. Usamos a expressão geral da derivada (já obtida):
Com
e
temos
O fator
é sempre positivo, então
equivale a
Portanto
.
Agora calculamos
. Substituindo
na solução:
Calcule o parêntese primeiro:
, então
. O expoente é
. Logo
Assim o ponto de máximo é
Passo 6
Resolver o PVI com condição geral
(parte c).
Repetindo o procedimento com parâmetro
: a solução geral da EDO continua sendo
Da condição
obtemos
. Da condição
usamos a expressão
, assim
Portanto a solução em função de
é
Como informação adicional útil (não pedida explicitamente, mas clara e fácil de obter): o instante do máximo para esse
é dado por resolver
. Usando a mesma derivada geral com
chega-se a
Isto coincide com o caso
obtido antes (
,
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)