Considere o problema de valor inicial 4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2.
a) Resolva o problema de valor inicial e plote o gráfico da solução;
b) Determine as coordenadas ( t_{0}, y_{0} ) do ponto de máximo;
c) mude a segunda condição inicial para y^{\prime}(0)=b>0 e encontre a solução em função de b.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
4y''+4y'+y=0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=2,
e pede:
(a) resolver o PVI e plotar o gráfico da solução;
(b) determinar as coordenadas (t_0,y_0) do ponto de máximo da solução;
(c) repetir a solução do PVI quando a segunda condição inicial for y'(0)=b>0, ou seja, encontrar y(t) em função de b.
As informações relevantes são:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Condições iniciais: valor de y em t=0 e de y' em t=0 (na parte (a) o valor de y'(0) é 2; na parte (c) será um parâmetro b>0).

Passo 2

Método para resolver a equação: transformamos a equação diferencial em uma equação algébrica (equação característica) substituindo y(t)=e^{rt}. Isto funciona porque derivadas de e^{rt} trazem fatores r e mantêm a forma exponencial; assim esperamos obter raízes r que geram soluções fundamentais. Aplicando y=e^{rt} em
4y''+4y'+y=0
obtém-se a equação característica
4r^2+4r+1=0.
Agora resolvemos a quadrática: o discriminante é
\Delta=4^2-4\cdot4\cdot1=16-16=0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz dupla. A raiz é
r=-\frac{4}{2\cdot4}=-\frac{1}{2}.
Para uma raiz dupla r da equação característica, as duas soluções independentes da EDO são e^{rt} e t e^{rt}. Portanto a solução geral da EDO é
y(t)=(C_1+C_2 t)e^{-t/2},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Vou explicar por que usamos t e^{rt}: quando a raiz é simples obtemos uma solução e^{rt}; quando a raiz tem multiplicidade 2, precisamos de uma segunda solução linearmente independente, e prova padrão (método de redução de ordem) mostra que t e^{rt} funciona — é a forma padrão para raízes repetidas.

Passo 3

Aplicando as condições iniciais (parte a) para determinar C_1 e C_2.
Primeiro, da condição y(0)=1:
y(0)=(C_1+C_2\cdot 0)e^{0}=C_1=1.
Agora calculamos y'(t) para aplicar y'(0)=2. Diferenciando y(t)=(C_1+C_2 t)e^{-t/2} (vou detalhar cada termo):
y'(t)=\frac{d}{dt}\big((C_1+C_2 t)\big)\,e^{-t/2}+(C_1+C_2 t)\,\frac{d}{dt}\big(e^{-t/2}\big).
A derivada de (C_1+C_2 t) é C_2. A derivada de e^{-t/2} é -\tfrac{1}{2}e^{-t/2}. Logo
y'(t)=C_2 e^{-t/2}+(C_1+C_2 t)\left(-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}\right) = e^{-t/2}\left(C_2-\tfrac{1}{2}C_1-\tfrac{1}{2}C_2 t\right).
Agora y'(0)=e^{0}\big(C_2-\tfrac{1}{2}C_1\big)=C_2-\tfrac{1}{2}C_1. Com C_1=1 e y'(0)=2 obtemos
C_2-\tfrac{1}{2}\cdot 1=2\quad\Rightarrow\quad C_2=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Portanto a solução particular do PVI da parte (a) é
\boxed{y(t)=\left(1+\tfrac{5}{2}t\right)e^{-t/2}.}

Passo 4

Como plotar / comportamento da solução (parte a, gráfico):
Vamos entender o formato para esboçar o gráfico sem calculadora gráfica:
  • Em t=0: y(0)=1.
  • Derivada inicial: y'(0)=2>0, então a solução sobe inicialmente.
  • Comportamento para grande t: o fator exponencial e^{-t/2} domina e faz y(t)\to 0 quando t\to+\infty, então a função eventualmente desce e tende a zero.
  • Assim esperamos um crescimento inicial (porque y'(0)>0), atingir um máximo em algum t_0>0, e depois decair monotonamente para 0.
Para dar pontos concretos úteis ao desenhar, alguns valores:
  • t=0: y(0)=1.
  • t=1: y(1)=\left(1+\tfrac{5}{2}\cdot 1\right)e^{-1/2}=\tfrac{7}{2}e^{-1/2}\approx 3{,}5\cdot 0{,}60653\approx 2{,}122.
  • t=1{,}6 (valor do máximo que vamos achar depois): y(1{,}6) será cerca de 2{,}247 (veremos exatamente no próximo passo).
  • t=4: y(4)=\left(1+\tfrac{5}{2}\cdot 4\right)e^{-2}=\left(1+10\right)e^{-2}=11e^{-2}\approx 11\cdot0{,}13534\approx1{,}4887.
  • Para t muito grande, y(t)\to 0.
Com esses pontos e sabendo a forma (sobe, atinge máximo, decai para zero), é possível traçar o gráfico. Num computador, usar por exemplo Python/Matplotlib, Octave ou uma calculadora gráfica e plotar a função y(t)=\left(1+\tfrac{5}{2}t\right)e^{-t/2} em t\ge 0.

Passo 5

Determinar o ponto de máximo (parte b).
Um máximo interior ocorre quando y'(t)=0. Usamos a expressão geral da derivada (já obtida):
y'(t)=e^{-t/2}\left(C_2-\tfrac{1}{2}C_1-\tfrac{1}{2}C_2 t\right).
Com C_1=1 e C_2=\tfrac{5}{2} temos
y'(t)=e^{-t/2}\left(\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{5}{2}\,t\right) =e^{-t/2}\left(2-\tfrac{5}{4}t\right).
O fator e^{-t/2} é sempre positivo, então y'(t)=0 equivale a
2-\tfrac{5}{4}t=0\quad\Rightarrow\quad t=\frac{2}{1}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{5}=1{,}6.
Portanto t_0=\tfrac{8}{5}.
Agora calculamos y_0=y(t_0). Substituindo t_0 na solução:
y\!\left(\tfrac{8}{5}\right)=\left(1+\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{8}{5}\right)e^{-(8/5)/2}.
Calcule o parêntese primeiro: \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{8}{5}=\tfrac{8}{2}=4, então 1+4=5. O expoente é -\tfrac{8}{5}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{4}{5}. Logo
y_0=5 e^{-4/5}\approx 5\cdot 0{,}449329\approx 2{,}2466.
Assim o ponto de máximo é
\boxed{\left(t_0,y_0\right)=\left(\tfrac{8}{5},\,5e^{-4/5}\right)\approx(1{,}6,\;2{,}2466).}

Passo 6

Resolver o PVI com condição geral y'(0)=b>0 (parte c).
Repetindo o procedimento com parâmetro b: a solução geral da EDO continua sendo
y(t)=(C_1+C_2 t)e^{-t/2}.
Da condição y(0)=1 obtemos C_1=1. Da condição y'(0)=b usamos a expressão y'(0)=C_2-\tfrac{1}{2}C_1, assim
C_2-\tfrac{1}{2}\cdot 1=b\quad\Rightarrow\quad C_2=b+\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução em função de b é
\boxed{y(t)=\left(1+\bigl(b+\tfrac{1}{2}\bigr)t\right)e^{-t/2}.}
Como informação adicional útil (não pedida explicitamente, mas clara e fácil de obter): o instante do máximo para esse b>0 é dado por resolver y'(t)=0. Usando a mesma derivada geral com C_2=b+\tfrac{1}{2} chega-se a
t_0=\frac{4b}{2b+1}, \qquad y_0=(2b+1)\,e^{-\tfrac{2b}{2b+1}}.
Isto coincide com o caso b=2 obtido antes ( t_0=\tfrac{8}{5}, y_0=5e^{-4/5}).

Resposta

(a) y(t)=\left(1+\dfrac{5}{2}t\right)e^{-t/2}.
(b) \left(t_{0},y_{0}\right)=\left(\dfrac{8}{5},\,5e^{-4/5}\right)\approx(1{,}6,\;2{,}2466).
(c) y(t)=\left(1+\bigl(b+\tfrac{1}{2}\bigr)t\right)e^{-t/2}.

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