A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x, y)=60 /\left(1+x^{2}+y^{2}\right), onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) em (a) a direção x e (b) a direção y.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em qualquer ponto (x,y) da chapa por
T(x,y)=\frac{60}{1+x^{2}+y^{2}}
com T em ^\circ\mathrm{C} e x,y em metros. Pede-se:
(a) a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) na direção x;
(b) a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) na direção y.
Informações relevantes: a função T(x,y) está explicitamente dada; o ponto de interesse é (2,1). As "taxas de variação na direção x e y" correspondem às derivadas parciais \partial T/\partial x e \partial T/\partial y avaliadas em (2,1).

Passo 2

O que significa "taxa de variação na direção x" e na direção y?
  • A taxa de variação de T na direção x em (x_0,y_0) é a derivada parcial \dfrac{\partial T}{\partial x}(x_0,y_0). Isso mede como T muda se nós variarmos x um pouquinho mantendo y fixo em y_0.
  • Analogamente, a taxa de variação na direção y é \dfrac{\partial T}{\partial y}(x_0,y_0), que mede a mudança de T ao variar y mantendo x fixo.
Formalmente, por definição (só para intuição),
\frac{\partial T}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{T(x_0+h,y_0)-T(x_0,y_0)}{h}
e similar para \partial T/\partial y. Na prática calculamos essas derivadas usando as regras usuais de diferenciação.

Passo 3

Para facilitar a diferenciação é útil reescrever a função como potência:
T(x,y)=60\,(1+x^{2}+y^{2})^{-1}.
Vamos aplicar a regra da cadeia: se T(x,y)=60\cdot u^{-1} com u=1+x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial T}{\partial x}=60\cdot(-1)u^{-2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x porque u=1+x^{2}+y^{2} e y é tratado como constante ao derivar em relação a x.

Passo 4

Aplicando o passo anterior obtemos a fórmula para a derivada parcial em x:
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=60\cdot(-1)(1+x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x
Agora simplificamos:
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=-\frac{120x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Essa é a expressão geral para a taxa de variação de T ao longo de x.

Passo 5

De modo análogo para y usamos \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y. Assim
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=60\cdot(-1)(1+x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y
e simplificando:
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=-\frac{120y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Agora avaliamos as duas derivadas no ponto (2,1). Primeiro calculemos 1+x^{2}+y^{2} em (2,1):
1+2^{2}+1^{2}=1+4+1=6.
Então (1+x^{2}+y^{2})^{2}=6^{2}=36.
Substituindo em \dfrac{\partial T}{\partial x}:
\frac{\partial T}{\partial x}(2,1)=-\frac{120\cdot 2}{36}=-\frac{240}{36}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 12:
-\frac{240}{36}=-\frac{20}{3}.
A unidade é ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 7

Substituindo em \dfrac{\partial T}{\partial y}:
\frac{\partial T}{\partial y}(2,1)=-\frac{120\cdot 1}{36}=-\frac{120}{36}.
Simplificando por 12:
-\frac{120}{36}=-\frac{10}{3}.
Também em unidades de ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Interpretação curta: os sinais negativos dizem que, no ponto (2,1), a temperatura diminui quando aumentamos x ou y. A variação em x é maior em magnitude ( \tfrac{20}{3}) do que em y ( \tfrac{10}{3}) — ou seja, movendo-se um metro na direção positiva x a temperatura cai cerca de 6{,}67^\circ\mathrm{C}, enquanto na direção positiva y cai cerca de 3{,}33^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) -\dfrac{20}{3}\,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}
(b) -\dfrac{10}{3}\,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}

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