A temperatura em um ponto
de uma chapa de metal é dada por
, onde
é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em (a) a direção
e (b) a direção
.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em qualquer ponto
da chapa por
com
em
e
em metros. Pede-se:
(a) a taxa de variação da temperatura no ponto na direção
;
(b) a taxa de variação da temperatura no ponto na direção
.
(a) a taxa de variação da temperatura no ponto
(b) a taxa de variação da temperatura no ponto
Informações relevantes: a função
está explicitamente dada; o ponto de interesse é
. As "taxas de variação na direção
e
" correspondem às derivadas parciais
e
avaliadas em
.
Passo 2
O que significa "taxa de variação na direção
" e na direção
?
- A taxa de variação de
na direção em é a derivada parcial . Isso mede como muda se nós variarmos um pouquinho mantendo fixo em . - Analogamente, a taxa de variação na direção
é , que mede a mudança de ao variar mantendo fixo.
Formalmente, por definição (só para intuição),
e similar para
. Na prática calculamos essas derivadas usando as regras usuais de diferenciação.
Passo 3
Para facilitar a diferenciação é útil reescrever a função como potência:
Vamos aplicar a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui
porque
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 4
Aplicando o passo anterior obtemos a fórmula para a derivada parcial em
:
Agora simplificamos:
Essa é a expressão geral para a taxa de variação de
ao longo de
.
Passo 5
De modo análogo para
usamos
. Assim
e simplificando:
Passo 6
Agora avaliamos as duas derivadas no ponto
. Primeiro calculemos
em
:
Então
.
Substituindo em
:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
A unidade é
.
Passo 7
Substituindo em
:
Simplificando por
:
Também em unidades de
.
Interpretação curta: os sinais negativos dizem que, no ponto
, a temperatura diminui quando aumentamos
ou
. A variação em
é maior em magnitude (
) do que em
(
) — ou seja, movendo-se um metro na direção positiva
a temperatura cai cerca de
, enquanto na direção positiva
cai cerca de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)